已知定义在[1,4]上的函数f(x)=x2-2bx+b4(b≥1),(I)求f(x)的最小值g(b);(II)求g(b)的最大值M.-数学

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已知定义在[1,4]上的函数f(x)=x2-2bx+b4(b≥1),(I)求f(x)的最小值g(b);(II)求g(b)的最大值M.-数学

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已知定义在[1,4]上的函数f(x)=x2-2bx+
b
4
(b≥1),
( I)求f(x)的最小值g(b);
( II)求g(b)的最大值M.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

f(x)=(x-b)2-b2+class="stub"b
4
的对称轴为直线x=b(b≥1),
( I)①当1≤b≤4时,g(b)=f(b)=-b2+class="stub"b
4

②当b>4时,g(b)=f(4)=16-class="stub"31
4
b

综上所述,f(x)的最小值g(b)=
-b2+class="stub"b
4
(1≤b≤4)
16-class="stub"31
4
b(b>4)

( II)①当1≤b≤4时,g(b)=-b2+class="stub"b
4
=-(b-class="stub"1
8
)2+class="stub"1
64

∴当b=1时,M=g(1)=-class="stub"3
4

②当b>4时,g(b)=16-class="stub"31
4
b
是减函数,∴g(b)<16-class="stub"31
4
×4=-15<-class="stub"3
4

综上所述,g(b)的最大值M=-class="stub"3
4

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