设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a、b∈R,当a+b≠0时,都有f(a)+f(b)a+b>0.(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;(2)若f(9x-2•3x)+f(2•9x-k

题目简介

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a、b∈R,当a+b≠0时,都有f(a)+f(b)a+b>0.(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;(2)若f(9x-2•3x)+f(2•9x-k

题目详情

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a、b∈R,当a+b≠0时,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;
(2)若f(9x-2•3x)+f(2•9x-k)>0对任意x∈[0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵对任意a,b,当a+b≠0,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0

f(a)+f(-b)
a-b
>0

∵a>b,∴a-b>0,
∴f(a)+f(-b)>0,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-b)=-f(b),
∴f(a)-f(b)>0,
∴f(a)>f(b);
(2)由(1)知f(x)在R上是单调递增函数,
又f(9x-2•3x)+f(2•9x-k)>0,得f(9x-2•3x)>-f(2•9x-k)=f(k-2•9x),
故9x-2•3x>k-2•9x,即k<3•9x-2•3x,
令t=3x,则t≥1,
所以k<3t2-2t,而3t2-2t=3(t-class="stub"1
3
)2
-class="stub"1
3
在[1,+∞)上递增,所以3t2-2t≥3-2=1,
所以k<1,即所求实数k的范围为k<1.

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