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> 定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10x．（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；（Ⅲ）证明：g（x1）+g（x2）≥2g（x1+x22
定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10x．（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；（Ⅲ）证明：g（x1）+g（x2）≥2g（x1+x22
题目简介
定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10x．（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；（Ⅲ）证明：g（x1）+g（x2）≥2g（x1+x22
题目详情
定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10
x
．
（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；
（Ⅲ）证明：g（x
1
）+g（x
2
）≥2g（
x1+x2
2
）；
*（Ⅳ）试用f（x
1
），f（x
2
），g（x
1
），g（x
2
）表示f（x
1
-x
2
）与g（x
1
+x
2
）．
题型：解答题
难度：中档
来源：不详
答案
（Ⅰ）由题意可得：f（x）+g（x）=10x ①，
∴f（-x）+g（-x）=10-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴-f（x）+g（x）=10-x ②，
由①，②解得：f（x）=
class="stub"1
2
（10x-
class="stub"1
10
x
），g（x）=
class="stub"1
2
（10x+
class="stub"1
10
x
）．
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=y=
class="stub"1
2
（10x-
class="stub"1
10
x
），
∴（10x）2-2y⋅10x-1=0，解得10x=y±
y
2
+1
，
∵10x＞0，
∴10x=y+
y
2
+1
，
∴x=lg（y+
y
2
+1
），
∴f（x）的反函数为f-1（x）=lg（x+
x
2
+1
）．x∈R．
（Ⅲ）证明：由（I）可得：2g（
class="stub"x1+x2
2
）=
10
x
1
+
x
2
2
+
class="stub"1
10
x
1
+
x
2
2
；
并且得到g（x1）+g（x2）=
class="stub"1
2
（
10
x
1
+
class="stub"1
10
x
1
）+
class="stub"1
2
（
10
x
2
+
class="stub"1
10
x
2
）=
class="stub"1
2
（
10
x
1
+
10
x
2
）+
class="stub"1
2
（
class="stub"1
10
x
1
+
class="stub"1
10
x
2
）
≥
class="stub"1
2
•2
10
x
1
•
10
x
2
+
class="stub"1
2
•2
class="stub"1
10
x
1
•
10
x
2
=
10
x
1
+
x
2
2
+
class="stub"1
10
x
1
+
x
2
2
=2g（
class="stub"x1+x2
2
）；
∴g（x1）+g（x2）≥2g（
class="stub"x1+x2
2
）．
（Ⅳ）由（I）可得：f（x1-x2）=f（x1）g（x2）-g（x1）f（x2），g（x1+x2）=g（x1）g（x2）-f（x1）f（x2）．
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函数y=f（x）是定义在R上的增函数，y
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已知f（x）=x2-4x+5在区间[t，t+2]上
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题目简介
定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10x．（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；（Ⅲ）证明：g（x1）+g（x2）≥2g（x1+x22
题目详情
（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；
（Ⅲ）证明：g（x1）+g（x2）≥2g（
*（Ⅳ）试用f（x1），f（x2），g（x1），g（x2）表示f（x1-x2）与g（x1+x2）．
答案
∴f（-x）+g（-x）=10-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴-f（x）+g（x）=10-x ②，
由①，②解得：f（x）=
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=y=
∴（10x）2-2y⋅10x-1=0，解得10x=y±
∵10x＞0，
∴10x=y+
∴x=lg（y+
∴f（x）的反函数为f-1（x）=lg（x+
（Ⅲ）证明：由（I）可得：2g（
并且得到g（x1）+g（x2）=
≥
∴g（x1）+g（x2）≥2g（
（Ⅳ）由（I）可得：f（x1-x2）=f（x1）g（x2）-g（x1）f（x2），g（x1+x2）=g（x1）g（x2）-f（x1）f（x2）．