设函数f(x)=|2x+1|-|x-2|.(1)若关于x的不等式a≥f(x)存在实数解,求实数a的取值范围;(2)若∀x∈R,f(x)≥-t2-52t-1恒成立,求实数t的取值范围.-数学

题目简介

设函数f(x)=|2x+1|-|x-2|.(1)若关于x的不等式a≥f(x)存在实数解,求实数a的取值范围;(2)若∀x∈R,f(x)≥-t2-52t-1恒成立,求实数t的取值范围.-数学

题目详情

设函数f(x)=|2x+1|-|x-2|.
(1)若关于x的不等式a≥f(x)存在实数解,求实数a的取值范围;
(2)若∀x∈R,f(x)≥-t2-
5
2
t-1
恒成立,求实数t的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:洛阳模拟

答案

(1)∵函数f(x)=|2x+1|-|x-2|=
-x-3 ,  x≤-class="stub"1
2
3x-1  , -class="stub"1
2
<x<2
x+3  ,  x≥2

∴fmin(x)=f(-class="stub"1
2
)=-class="stub"5
2

由题意可得a≥-class="stub"5
2
,故实数a的取值范围为[-class="stub"5
2
,+∞).
(2)∵∀x∈R,f(x)≥-t2-class="stub"5
2
t-1
恒成立,
∴-class="stub"5
2
≥-t2-class="stub"5
2
t-1
,解得 t≥class="stub"1
2
,或 t≤-3.
故实数t的取值范围为[class="stub"1
2
,+∞)∪(-∞,-3].

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