首页 > 某学生对函数f（x）=xsinx结论：①函数f（x）在[-π2，π2]单调；②存在常数M＞0，使f（x）≤M成立；③函数f（x）在（0，π）上无最小值，但一定有最大值；④点（π，0）是函数y=f（x）

某学生对函数f（x）=xsinx结论：①函数f（x）在[-π2，π2]单调；②存在常数M＞0，使f（x）≤M成立；③函数f（x）在（0，π）上无最小值，但一定有最大值；④点（π，0）是函数y=f（x）

题目简介

某学生对函数f（x）=xsinx结论：①函数f（x）在[-π2，π2]单调；②存在常数M＞0，使f（x）≤M成立；③函数f（x）在（0，π）上无最小值，但一定有最大值；④点（π，0）是函数y=f（x）

题目详情

某学生对函数f（x）=xsinx结论：
①函数f（x）在[-
π
2
，
π
2
]单调；
②存在常数M＞0，使f（x）≤M成立；
③函数f（x）在（0，π）上无最小值，但一定有最大值；
④点（π，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心．
其中正确命题的序号是 ______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

由题意可知：f′（x）=sinx+xcosx．
①∵当x∈[-class="stub"π
2
，0]时，f′（x）＜0所以函数在[-class="stub"π
2
，0]上单调递减；
当x∈[0，class="stub"π
2
]时，f′（x）＞0所以函数在[0，class="stub"π
2
]上单调递增；故①不对．
②在（2kπ，2kπ+class="stub"π
2
），k∈Z上x可以去到无限大，所以不存在M使的f（x）≤M成立，故②不对；
③函数在[0，class="stub"π
2
]上单调递增，同上可知函数在（0，π）上为先增后减的函数，又所给区间为开区间，所以此命题正确；
④假若点（π，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，则x=class="stub"π
2
和x=class="stub"3π
2
时的函数值应互为相反数，而f(class="stub"π
2
) =class="stub"π
2
，f(class="stub"3π
2
) =-class="stub"3π
2
，故不成立．
故答案为：③．

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