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阅读不等式2x+1＞3x的解法：设f(x)=(23)x+(13)x，函数y=(23)x和y=(13)x在R内都单调递减；则f（x）在（-∞，+∞）内单调递减．∵f（1）=1，∴当x＜1时，(23)x+

题目简介

阅读不等式2x+1＞3x的解法：设f(x)=(23)x+(13)x，函数y=(23)x和y=(13)x在R内都单调递减；则f（x）在（-∞，+∞）内单调递减．∵f（1）=1，∴当x＜1时，(23)x+

题目详情

阅读不等式2x+1＞3x的解法：
设f(x)=(
2
3
)x+(
1
3
)x，函数y=(
2
3
)x和y=(
1
3
)x在R内都单调递减；则f（x）在（-∞，+∞）内单调递减．
∵f（1）=1，∴当x＜1时，(
2
3
)x+(
1
3
)x＞1，当x≥1时，(
2
3
)x+(
1
3
)x≤1．
∵3x＞0，∴不等式2^+1＞3x的解为x＜1；
（1）试利用上面的方法解不等式2x+3x≥5x；
（2）证明：3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设g(x)=(class="stub"2
5
)x+(class="stub"3
5
)x，函数y=(class="stub"2
5
)x和y=(class="stub"3
5
)x在R内都单调递减；则g（x）在（-∞，+∞）内单调递减，
∵g（1）=1，当x≤1时，(class="stub"2
5
)x+(class="stub"3
5
)x≥1，当x＞1时，(class="stub"2
5
)x+(class="stub"3
5
)x＜1；
∴不等式2x+3x≥5x的解集为：{x|x≤1}；
（2）令h(x)=(class="stub"3
5
)x+(class="stub"4
5
)x，函数y=(class="stub"3
5
)x和y=(class="stub"4
5
)x在R内都单调递减；则h（x在（-∞，+∞）内单调递减，
∵h（2）=2，当x＜2时，(class="stub"3
5
)x+(class="stub"4
5
)x＞1，当x＞2时，(class="stub"3
5
)x+(class="stub"4
5
)x＜1；
∴有且只有一个实数x=2使得(class="stub"3
5
)x+(class="stub"4
5
)x=1，即3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2．

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