已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m为非零常数（1）求函数g（x）的解析式；（2）当-2＜m＜0时，判断函

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已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m为非零常数
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当-2＜m＜0时，判断函数f（x）的单调性并且说明理由；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式ln(

+1)＞

恒成立．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设g（x）=ax2+bx+c，g（x）的图象经过坐标原点，所以c=0．
∵g（x+1）=g（x）+2x+1∴a（x+1）2+b（x+1）=ax2+bx+2x+1
即：ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+2）x+1
∴a=1，b=0，g（x）=x2；
（2）函数f（x）=mx2-ln（x+1）的定义域为（-1，+∞）．f′(x)=2mx-class="stub"1

x+1

2mx2+2mx-1

x+1

，
令k（x）=2mx2+2mx-1，k(x)=2m(x+class="stub"1

)2-class="stub"m

-1，k(x)max=k(-class="stub"1

)=-class="stub"m

-1，
∵-2＜m＜0，∴k(x)max=-class="stub"m

-1＜0，k（x）=2mx2+2mx-1＜0在（-1，+∞）上恒成立，
即f′（x）＜0，当-2＜m＜0时，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递减．
（3）当m=1时，f（x）=x2-ln（x+1）．，令h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1），
则h′(x)=

3x3+(x-1)2

x+1

在[0，+∞）上恒正，
∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0．，
即当x∈（0，+∞）时，有x3-x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2-x3，
对任意正整数n，取x=class="stub"1

得ln(class="stub"1

+1)＞class="stub"1

-class="stub"1

．

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已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m为非零常数（1）求函数g（x）的解析式；（2）当-2＜m＜0时，判断函

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