设对任意实数x∈[-1,1],不等式x2+ax-3a<0恒成立,则实数a的取值范围是()A.a>0B.a>12C.a>0或a<-12D.a>14-数学

题目简介

设对任意实数x∈[-1,1],不等式x2+ax-3a<0恒成立,则实数a的取值范围是()A.a>0B.a>12C.a>0或a<-12D.a>14-数学

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设对任意实数x∈[-1,1],不等式x2+ax-3a<0恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.a>0B.a>
1
2
C.a>0或a<-12D.a>
1
4
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

解法一:y=x2+ax-3a的对称轴是x=-class="stub"a
2

①当-class="stub"a
2
≥1,即a≤-2时,x=-1离对称轴最远,而函数开口向上,所以有最大值,
其最大值是a>class="stub"1
4
,与a≤-2相矛盾.
∴a∈∅;
②当-1<-class="stub"a
2
<1
,即-2<a<2时,
x=-1或x=1时,有最大值.
由①知,x=-1有最大值时,其最大值是a>class="stub"1
4
,故class="stub"1
4
<a<2

当x=1有最大值时,其最大值是1-2a<0,即a>class="stub"1
2
,故class="stub"1
2
<a<2

class="stub"1
2
<a<2

③当-class="stub"a
2
≤-1,即a≥2时,
x=1时有最大值,
其最大值是1-2a<0,a>class="stub"1
2

∴a≥2.
综上所述,a>class="stub"1
2

故选B.
解法二:设f(x)=x2+ax-3a,
∵对任意实数x∈[-1,1],不等式x2+ax-3a<0恒成立,
f(-1)=1-a-3a<0
f(1)=1+a-3a<0

1-4a<0
1-2a<0

a>class="stub"1
4
a>class="stub"1
2
,故a>class="stub"1
2

故选B.

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