首页 > 设a为实数，函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）设t=1+x+1-x，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域；（3）求g（a），

设a为实数，函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）设t=1+x+1-x，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域；（3）求g（a），

题目简介

设a为实数，函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）设t=1+x+1-x，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域；（3）求g（a），

题目详情

设a为实数，函数f(x)=a
1-x2
+
1+x
+
1-x
的最大值为g（a）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）设t=
1+x
+
1-x
，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域；
（3）求g（a），并求当a＞-
1
2
时满足g(a)=g(
1
a
)的实数a的取值集合．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意得
1-x2≥0
1+x≥0
1-x≥0
得
-1≤x≤1
x≥-1
x≤1

∴函数f（x）的定义域为[-1，1]．（4分）
（2）由t=
1+x
+
1-x
平方得t2=2+2
1-x2
．由x∈[-1，1]得，t2∈[2，4]，
所以t的取值范围是[
2
，2]．
又
1-x2
=class="stub"1
2
t2-1，∴h(t)=a(class="stub"1
2
t2-1)+t．
即h(t)=class="stub"1
2
at2+t-a，定义域为[
2
，2]．（8分）
（3）由题意知g（a）即为函数h(t)=class="stub"1
2
at2+t-a，t∈[
2
，2]的最大值．
注意到直线t=-class="stub"1
a
是抛物线h(t)=class="stub"1
2
at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论：
①当a＞0时，函数y=h(t)，t∈[
2
，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-class="stub"1
a
＜0知y=h（t）在[
2
，2]上单调递增，∴g（a）=h（2）=a+2．
②当a=0时，h（t）=t，t∈[
2
，2]，∴g（a）=h（2）=2．
③当a＜0时，函数y=h(t)，t∈[
2
，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，t=-class="stub"1
a
＞0．
a若t=-class="stub"1
a
∈(0，
2
)，即a＜-
2
2
时，则g(a)=h(
2
)=
2
；
b若t=-class="stub"1
a
∈[
2
，2]，即-
2
2
≤a≤-class="stub"1
2
时，则g(a)=h(-class="stub"1
a
)=-a-class="stub"1
2a
；
c若t=-class="stub"1
a
∈(2，+∞)，即-class="stub"1
2
＜a＜0时，则g（a）=h（2）=a+2；
综上有g(a)=
a+2         a＞-class="stub"1
2
-a-class="stub"1
2a
     -
2
2
≤a≤-class="stub"1
2
2
             a＜-
2
2
．（14分）
当a＞0时，class="stub"1
a
＞0，g(class="stub"1
a
)=class="stub"1
a
+2，由g(a)=g(class="stub"1
a
)得，a+2=class="stub"1
a
+2，a=±1．∴a=1．
当-class="stub"1
2
＜a＜0时，class="stub"1
a
＜-2，此时g(a)=a+2，g(class="stub"1
a
)=
2
，由a+2=
2
解得a=
2
-2与a＞-class="stub"1
2
矛盾．
∴满足g(a)=g(class="stub"1
a
)的所有实数a的取值集合是：{1}．（18分）

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