已知定义在R上的函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-25．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否

题目简介

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：|f （x₁）-f （x₂）|≤

．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0
又f（-1）=-f（1），
即-a-2b-c=-a+2b-c，
∴b=0
∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c．
∵x=1时，f（x）取极小值-class="stub"2

，
∴3a+c=0且 a+c=-class="stub"2

．
解得a=class="stub"1

，c=-class="stub"3

．
∴f（x）=class="stub"1

x3-class="stub"3

x…4
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．
假设图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′（x）=class="stub"3

（x2-1）知两点处的切线斜率分别为k1=class="stub"3

(

-1)，k2=class="stub"3

(

-1)，且class="stub"9

(

-1)(

-1)=1 （*）
∵x1，x2∈[-1，1]，
∴

-1≤0，

-1≤0
∴（

-1）（

-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立 …（8分）（文12分）
（Ⅲ）证明：f′（x）=class="stub"3

（x2-1），令f′（x）=0，得x=±1
∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f′（x）＜0
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且fmax（x）=f（-1）=class="stub"2

，fmin（x）=f（1）=-class="stub"2

．
∴在[-1，1]上|f（x）|≤class="stub"2

，于是x1，x2∈[-1，1]时，
|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤class="stub"2

+class="stub"2

=class="stub"4

…（12分）