设函数f(x)=x2+|x-a|(x∈R,a为实数)(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)设a>0,g(x)=f(x)x,x∈(0,a],若g(x)在区间(0,a]上是减函数,求a的取值范围.

题目简介

设函数f(x)=x2+|x-a|(x∈R,a为实数)(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)设a>0,g(x)=f(x)x,x∈(0,a],若g(x)在区间(0,a]上是减函数,求a的取值范围.

题目详情

设函数f(x)=x2+|x-a|(x∈R,a为实数)
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)设a>0,g(x)=
f(x)
x
,x∈(0,a]
,若g(x)在区间(0,a]上是减函数,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由已知,f(-x)=f(x).…2分
即|x-a|=|x+a|,…3分
解得a=0…3分
(2)当x∈(0,a]时,f(x)=x2+a-x,g(x)=x+class="stub"a
x
-1
,…7分
设x1,x2∈(0,a],且x2>x1>0,于是x1x2-a2<0,x1x2>0.
∵f(x1)-f(x2)=x1+class="stub"a
x1
-1-(x2+class="stub"a
x2
-1
)=(x1-x2)(1-class="stub"a
x1x2
)>0
∵x1,x2∈(0,a]且x1<x2,所以x1x2<a2,
所以a≥a2,因此实数a 的取值范围是(0,1]…12分

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