已知数列{an}的首项a1=1,且点An(an,an+1)在函数y=xx+1的图象上.(1)证明:{1an}为等差数列,并求{an}的通项公式.(2)若{bn}表示直线AnAn+1的斜率,且bn>m2

题目简介

已知数列{an}的首项a1=1,且点An(an,an+1)在函数y=xx+1的图象上.(1)证明:{1an}为等差数列,并求{an}的通项公式.(2)若{bn}表示直线AnAn+1的斜率,且bn>m2

题目详情

已知数列{an}的首项a1=1,且点An(an,an+1)在函数y=
x
x+1
的图象上.
(1)证明:{
1
an
}
为等差数列,并求{an}的通项公式.
(2)若{bn}表示直线AnAn+1的斜率,且bn>m2-2m+
1
3
对n∈N*恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:∵点An(an,an+1)在函数y=class="stub"x
x+1
的图象上,∴an+1=
an
an+1

两边取倒数得class="stub"1
an+1
=class="stub"1
an
+1
,得到class="stub"1
an+1
-class="stub"1
an
=1

∴数列{class="stub"1
an
}
是首项为class="stub"1
a1
=1
,公差为1的等差数列,
class="stub"1
an
=1+(n-1)×1
=n,∴an=class="stub"1
n

(2)∵bn=
an+2-an+1
an+1-an
=
class="stub"1
n+2
-class="stub"1
n+1
class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n
=class="stub"n
n+2
,∴bn+1=class="stub"n+1
n+3

∴bn+1-bn=class="stub"n+1
n+3
-class="stub"n
n+2
=class="stub"2
(n+2)(n+3)
>0,即数列{bn}是递增数列,其最小值为b1=class="stub"1
3

∵bn>m2-2m+class="stub"1
3
对n∈N*恒成立,∴[bn]minm2-2m+class="stub"1
3

class="stub"1
3
m2-2m+class="stub"1
3
,化为m2-3m<0,解得0<m<3.
∴实数m的取值范围是(0,3).

更多内容推荐