首页 > 已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；（Ⅱ）若存在x∈[1e，e]（e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，求实数a的取

已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；（Ⅱ）若存在x∈[1e，e]（e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，求实数a的取

题目简介

已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；（Ⅱ）若存在x∈[1e，e]（e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，求实数a的取

题目详情

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[
1
e
，e]（e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）
当x∈(0，class="stub"1
e
)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈(class="stub"1
e
，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以函数f（x）在[1，3]上单调递增．
又f（1）=ln1=0，
所以函数f（x）在[1，3]上的最小值为0．（6分）
（Ⅱ）由题意知，2xlnx≥-x2+ax-3，则a≤2lnx+x+class="stub"3
x
．
若存在x∈[class="stub"1
e
，e]使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+class="stub"3
x
的最小值．
设h(x)=2lnx+x+class="stub"3
x
(x＞0)，则h′(x)=class="stub"2
x
+1-class="stub"3
x2
=
(x+3)(x-1)
x2
．
当x∈[class="stub"1
e
，1)时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
由h(class="stub"1
e
)=-2+class="stub"1
e
+3e，h(e)=2+e+class="stub"3
e
，h(class="stub"1
e
)-h(e)=2e-class="stub"2
e
-4＞0，
可得h(class="stub"1
e
)＞h(e)．
所以，当x∈[class="stub"1
e
，e]时，h（x）的最小值为h（1）=4
故a≤4（13分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网