已知函数f(1x)=2x2+x+ax,其中x∈(0,1](Ⅰ)当a=12时,求f(x)的最小值;(Ⅱ)在定义域内,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(1x)=2x2+x+ax,其中x∈(0,1](Ⅰ)当a=12时,求f(x)的最小值;(Ⅱ)在定义域内,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(
1
x
)=
2x2+x+a
x
,其中x∈(0,1]
(Ⅰ)当a=
1
2
时,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)在定义域内,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

由题意知
f(class="stub"1
x
)=
2x2+x+a
x
,x∈(0,1]
设t=class="stub"1
x
∈[1,+∞),可求得函数f(x)的解析式为f(x)=ax+class="stub"2
x
+1
定义域为x∈[1,+∞) 
(Ⅰ)当a=class="stub"1
2
时,f(x)=class="stub"1
2
(x+class="stub"4
x
)+1
x∈[1,+∞) 
 用定义证明f(x)的单调性如下:
设1≤x1<x2≤2,则f(x1)-f(x2)=class="stub"1
2
(x1+class="stub"4
x1
)-class="stub"1
2
x2 +class="stub"4
x2
)
=class="stub"1
2
(x1-x2)(1-class="stub"4
x1x2
)

∵1≤x1<x2≤2
∴f(x1)-f(x2 )>0
故f(x)在[1,2]上单调递减.同理可证f(x)在[2,+∞)上单调递增.
∴f(x)的最小值为f(2)=3.
(Ⅱ)∵x∈[1,+∞),f(x)=ax+class="stub"2
x
+1
=
ax2+x+2
x
>0
恒成立
∴等价于当x∈[1,+∞),ax2+x+2>0恒成立即可
∴a>class="stub"-x-2
x2
在x∈[1,+∞)恒成立    又class="stub"1
x
∈(0,1]
令g(x)=class="stub"-x-2
x2
=-2(class="stub"1
x
)2-class="stub"1
x
=-2(class="stub"1
x
+class="stub"1
4
)2+class="stub"1
8

即g(x)∈[-3,0)
∴a≥0
故a的取值范围[0,+∞).

更多内容推荐