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已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），函数g（x）=㏑x．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值；（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方（没有公共点

题目简介

已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），函数g（x）=㏑x．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值；（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方（没有公共点

题目详情

已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），函数g（x）=㏑x．
（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值；
（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方（没有公共点），求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]．求h（x）的最大值F（a）的解析式．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f'（x）=3x2-3=0，∴x=±1
∵f（-2）=-2，f（2）=2，f（1）=-2
∴函数的最小值为f（x）min=-2
（2）∵在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方
∴x3-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立得 3a＜x2-class="stub"lnx
x
在[1，2]上恒成立
设h（x）=x2-class="stub"lnx
x
则 h′(x)=2x-class="stub"1-lnx
x2
=
2x3+lnx-1
x2

∵2x3-1≥0，lnx≥0
∴h'（x）≥0
∴h（x）min=h（1）=1
∴a＜class="stub"1
3

（3）因g（x）=|f（x）|=|x3-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，∴g（x）=f（x）F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时，f′(x)=3x2-3a=3(x+
a
)(x-
a
)，（ⅰ）当
a
≥1，即a≥1g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）当 0＜
a
＜1，即0＜a＜1时，f(x)在[0，
a
]上单调递减，在 [
a
，1]单调递增；
1°当 f(1)=1-3a≤0，即class="stub"1
3
≤a＜1时，g(x)=|f(x)|=-f(x)，-f(x)在[0，
a
]上单调递增，在[
a
，1]上单调递减，F(a)=-f(
a
)=2a
a
；
2°当 f(1)=1-3a＞0，即0＜a＜class="stub"1
3

（ⅰ）当 -f(
a
)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤class="stub"1
4
时，F(a)=f(1)=1-3a
（ⅱ）当 -f(
a
)＞f(1)=1-3a，即class="stub"1
4
＜a＜class="stub"1
3
时，F(a)=-f(
a
)=2a
a
（1）-2
∴F（a）=
1-3a，0＜a≤class="stub"1
4
2a
a
class="stub"1
4
＜a＜1
3a-1，a≥1

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