已知奇函数f(x)=1+m4x+1.(1)求m的值;(2)讨论f(x)的单调性,并加以证明;(3)解不等式f(x-1)+f(2-3x)>0.-数学

题目简介

已知奇函数f(x)=1+m4x+1.(1)求m的值;(2)讨论f(x)的单调性,并加以证明;(3)解不等式f(x-1)+f(2-3x)>0.-数学

题目详情

已知奇函数f(x)=1+
m
4x+1

(1)求m的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并加以证明;
(3)解不等式f(x-1)+f(2-3x)>0.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=1+class="stub"m
4x+1

因为f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,
1+class="stub"m
4x+1
+1+class="stub"m
4-x+1
=0
2+class="stub"m
4x+1
+
m•4x
1+4x
=0
2+
m(1+4x)
1+4x
=0
,2+m=0,m=-2. 
(2)设任意的x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=1-class="stub"2
4x1+1
-(1-class="stub"2
4x2+1
)
=class="stub"2
4x2+1
-class="stub"2
4x1+1
=
2(4x1-4x2)
(4x1+1)(4x2+1)

因为y=4x在R上是增函数,且x1<x2,
所以4x14x2,所以4x1-4x2<0
4x1+1>0,4x2+1>0
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)是R上的增函数.      
(3)因为函数f(x)为增函数又是定义在R上的奇函数,
所以f(x-1)>f(3x-2),
所以x-1>3x-2,解得x<class="stub"1
2

所以原不等式的解集为{x|x<class="stub"1
2
}

更多内容推荐