已知函数f(x)=|ax-2|+blnx(x>0,实数a,b为常数).(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求b的取值范围;(2)若a≥2,b=1,求方程f(x)=1x在(0,1]上解

题目简介

已知函数f(x)=|ax-2|+blnx(x>0,实数a,b为常数).(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求b的取值范围;(2)若a≥2,b=1,求方程f(x)=1x在(0,1]上解

题目详情

已知函数f(x)=|ax-2|+blnx(x>0,实数a,b为常数).
(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求b的取值范围;
(2)若a≥2,b=1,求方程f(x)=
1
x
在(0,1]上解的个数.
题型:解答题难度:中档来源:江苏二模

答案

(1)f(x)=|x-2|+blnx=
-x+2+blnx,(0<x<2)
x-2+blnx,(x≥2)

①当0<x<2时,f(x)=-x+2+blnx,f′(x)=-1+class="stub"b
x

由条件,得-1+class="stub"b
x
≥0恒成立,即b≥x恒成立.
∴b≥2
②当x≥2时,f(x)=x-2+blnx,f'(x)=1+class="stub"b
x

由条件,得1+class="stub"b
x
≥0恒成立,即b≥-x恒成立
∴b≥-2
∵f(x)的图象在(0,+∞)不间断,
综合①,②得b的取值范围是b≥2.
(2)令g(x)=|ax-2|+lnx-class="stub"1
x
,即g(x)=
-ax+2+lnx-class="stub"1
x
,(0<x<class="stub"2
a
)
ax-2+lnx-class="stub"1
x
,(x≥class="stub"2
a
).

0<x<class="stub"2
a
时,g(x)=-ax+2+lnx-class="stub"1
x
g′(x)=-a+class="stub"1
x
+class="stub"1
x2

0<x<class="stub"2
a
,∴class="stub"1
x
>class="stub"a
2
,则g′(x)>-a+class="stub"a
2
+
a2
4
=
a(a-2)
4
≥0

即g'(x)>0,∴g(x)在(0,class="stub"2
a
)
上是单调增函数.
x≥class="stub"2
a
时,g(x)=ax-2+lnx-class="stub"1
x
g′(x)=a+class="stub"1
x
+class="stub"1
x2
>0

∴g(x)在(class="stub"2
a
,+∞)
上是单调增函数.
∵g(x)的图象在(0,+∞)上不间断,
∴g(x)在(0,+∞)上是单调增函数.
g(class="stub"2
a
)=lnclass="stub"2
a
-class="stub"a
2
,而a≥2,∴lnclass="stub"2
a
≤0
,则g(class="stub"2
a
)<0
.g(1)=|a-2|-1=a-3
①当a≥3时,
∵g(1)≥0
,∴g(x)=0在(0,1]上有惟一解.
即方程f(x)=class="stub"1
x
解的个数为1个.
②当2≤a<3时,
∵g(1)<0,
∴g(x)=0在(0,1]上无解.
即方程f(x)=class="stub"1
x
解的个数为0个.

更多内容推荐