设函数f(x)=1-xax+lnx在[1,+∞)上为增函数.(1)求正实数a的取值范围;(2)若a=1,求证:12+13+14+…+1n<lnn<n+12+13+14+…+1n-1(n∈N*且n≥2)

题目简介

设函数f(x)=1-xax+lnx在[1,+∞)上为增函数.(1)求正实数a的取值范围;(2)若a=1,求证:12+13+14+…+1n<lnn<n+12+13+14+…+1n-1(n∈N*且n≥2)

题目详情

设函数f(x)=
1-x
ax
+lnx
在[1,+∞)上为增函数.
(1)求正实数a的取值范围;
(2)若a=1,求证:
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
<lnn<n+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n-1
(n∈N*且n≥2).
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由已知:f'(x)=class="stub"ax-1
ax2
(a>0)

依题意得:class="stub"ax-1
ax2
≥0对x∈[1,+∞)恒成立.
∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立,∴a-1≥0,即:a≥1.
故正实数a的取值范围为[1,+∞).
(2)∵a=1,∴由(1)知:f(x)=class="stub"1-x
x
+lnx
在[1,+∞)上为增函数,
∴n≥2时:f(class="stub"n
n-1
)=
1-class="stub"n
n-1
class="stub"n
n-1
+lnclass="stub"n
n-1
=lnclass="stub"n
n-1
-class="stub"1
n
>f(1)=0

即:class="stub"1
n
<lnclass="stub"n
n-1
…. (9分)
class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
4
+…+class="stub"1
n
<lnclass="stub"2
1
+lnclass="stub"3
2
+…+lnclass="stub"n
n-1
=1nn

设g(x)=lnx-x,x∈[1,+∞),则g′(x)=class="stub"1
x
-1≤0
对x∈[1,+∞)恒成立,
∴g′(x)在[1+∞)为减函数.
∴n≥2时:g(class="stub"n
n-1
)=lnclass="stub"n
n-1
-class="stub"n
n-1
<g(1)=-1<0,
 即:lnclass="stub"n
n-1
class="stub"n
n-1
=1+class="stub"1
n-1
 (n≥2).
∴lnn=lnclass="stub"2
1
+lnclass="stub"3
2
+lnclass="stub"4
3
+…+lnclass="stub"n
n-1
<(1+class="stub"1
n-1
)+(1+class="stub"1
n-2
)+…+(1+class="stub"1
1
)=n+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n-1

综上所证:class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
<lnn<n+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n-1
(n∈N*且≥2)成立.

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