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已知数列{an}满足a1=2，an+1=2n+1an(n+12)an+2n，n∈N*（1）设bn=2nan，求数列bn的通项公式．（2）设cn=an•(n2+1)-1，dn=2ncn•cn+1，求数列

题目简介

已知数列{an}满足a1=2，an+1=2n+1an(n+12)an+2n，n∈N*（1）设bn=2nan，求数列bn的通项公式．（2）设cn=an•(n2+1)-1，dn=2ncn•cn+1，求数列

题目详情

已知数列{an}满足a1=2，an+1=
2n+1an
(n+
1
2
)an+2n
，n∈N*
（1）设bn=
2n
an
，求数列bn的通项公式．
（2）设cn=an•(n2+1)-1，dn=
2n
cn•cn+1
，求数列{dn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由bn=
2n
an
，bn+1=
2n+1
an+1
，得到an=
2n
bn
，an+1=
2n+1
bn+1
，b1=class="stub"2
a1
=1．
代入an+1=
2n+1an
(n+class="stub"1
2
)an+2n
，化为bn+1-bn=n+class="stub"1
2
．
∴bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
=（n-1）+class="stub"1
2
+（n-2）+class="stub"1
2
+…+1+class="stub"1
2
+1
=
n(n-1)
2
+class="stub"n-1
2
+1
=
n2+1
2
．
（2）由（1）可得an=
2n
bn 
=
2n+1
n2+1
，
∴cn=
2n+1
n2+1
×(n2+1)-1=2n+1-1．
∴dn=
2n
cncn+1
=
2n
(2n+1-1)(2n+2-1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n+1-1
-class="stub"1
2n+2-1
)，
∴Sn=class="stub"1
2
[(class="stub"1
22-1
-class="stub"1
23-1
)+(class="stub"1
23-1
-class="stub"1
24-1
)+…+(class="stub"1
2n+1-1
-class="stub"1
2n+2-1
)]
=class="stub"1
2
(class="stub"1
3
-class="stub"1
2n+2-1
)
=class="stub"1
6
-class="stub"1
2n+3-2
．

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