首页 > 在数列{an}中，已知a1=14，an+1an=14，bn+2=3log14an(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn}是等差数列；（3）设数列{cn}满足cn=an•b

在数列{an}中，已知a1=14，an+1an=14，bn+2=3log14an(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn}是等差数列；（3）设数列{cn}满足cn=an•b

题目简介

在数列{an}中，已知a1=14，an+1an=14，bn+2=3log14an(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn}是等差数列；（3）设数列{cn}满足cn=an•b

题目详情

在数列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log
1
4
an(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn}是等差数列；
（3）设数列{cn}满足cn=an•bn，求{cn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：济南三模

答案

（1）∵
an+1
an
=class="stub"1
4

∴数列{an}是首项为class="stub"1
4
，公比为class="stub"1
4
的等比数列，
∴an=(class="stub"1
4
)n(n∈N*)．（2分）
（2）∵bn=3logclass="stub"1
4
an-2（3分）
∴bn=3logclass="stub"1
4
(class="stub"1
4
)n-2=3n-2．（4分）
∴b1=1，公差d=3
∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=3的等差数列．（5分）
（3）由（1）知，an=(class="stub"1
4
)n，bn=3n-2(n∈N*)
∴cn=(3n-2)×(class="stub"1
4
)n，(n∈N*)．（6分）
∴Sn=1×class="stub"1
4
+4×(class="stub"1
4
)2+7×(class="stub"1
4
)3++(3n-5)×(class="stub"1
4
)n-1+(3n-2)×(class="stub"1
4
)n，
于是class="stub"1
4
Sn=1×(class="stub"1
4
)2+4×(class="stub"1
4
)3+7×(class="stub"1
4
)4++(3n-5)×(class="stub"1
4
)n+(3n-2)×(class="stub"1
4
)n+1（10分）
两式相减得class="stub"3
4
Sn=class="stub"1
4
+3[(class="stub"1
4
)2+(class="stub"1
4
)3++(class="stub"1
4
)n]-(3n-2)×(class="stub"1
4
)n+1=class="stub"1
2
-(3n+2)×(class="stub"1
4
)n+1．（12分）
∴Sn=class="stub"2
3
-class="stub"12n+8
3
×(class="stub"1
4
)n+1(n∈N*)．（14分）

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