首页 > 已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n≥1，n∈Z)．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求数列{n2an}的前n项和Tn；（3）若存在n∈N*，使

已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n≥1，n∈Z)．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求数列{n2an}的前n项和Tn；（3）若存在n∈N*，使

题目简介

已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n≥1，n∈Z)．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求数列{n2an}的前n项和Tn；（3）若存在n∈N*，使

题目详情

已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n≥1，n∈Z)．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求数列{n2an}的前n项和Tn；
（3）若存在n∈N*，使关于n的不等式an≤（n+1）λ成立，求常数λ的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为a1+2a2+3a3+…+nan=class="stub"n+1
2
an+1(n∈N*)
所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=class="stub"n
2
an(n≥2)-------（1分）
两式相减得nan=class="stub"n+1
2
an+1-class="stub"n
2
an
所以
(n+1)an+1
nan
=3(n≥2)------------（2分）
因此数列{nan}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以nan=2•3n-2(n≥2)----（3分）
故an=
1，n=1
class="stub"2
n
•3n-2，n≥2
------------（4分）
（2）由（1）可知当n≥2n2an=2n•3n-2
当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2，------------（5分）
∴3Tn=3+4•31+…+2(n-1)•3n-2+2n•3n-1，------------（6分）
两式相减得Tn=class="stub"1
2
+(n-class="stub"1
2
)••3n-1(n≥2)------------（7分）
又∵T1=a1=1也满足上式，------------（8分）
所以Tn=class="stub"1
2
+(n-class="stub"1
2
)••3n-1(n∈N*)------------（9分）
（3）an≤（n+1）λ等价于λ≥
an
n+1
，------------（10分）
由（1）可知当n≥2时，
an
n+1
=
2•3n-2
n(n+1)

设f(n)=
n(n+1)
2•3n-2
(n≥2，n∈N*)，则f(n+1)-f(n)=
n(n+1)(1-n)
2•3n-1
＜0，------------（12分）
∴class="stub"1
f(n+1)
≥class="stub"1
f(n)
，
又class="stub"1
f(2)
=class="stub"1
3
及
a1
2
=class="stub"1
2
，∴所求实数λ的取值范围为λ≥class="stub"1
3
，
∴λmin=class="stub"1
3
-----（14分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网