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已知数列an满足an+1=|an-1|（n∈N*），（1）若a1=54，求an；（2）是否存在a1，n0（a1∈R，n0∈N*），使当n≥n0（n∈N*）时，an恒为常数．若存在求a1，n0，否则说明

题目简介

已知数列an满足an+1=|an-1|（n∈N*），（1）若a1=54，求an；（2）是否存在a1，n0（a1∈R，n0∈N*），使当n≥n0（n∈N*）时，an恒为常数．若存在求a1，n0，否则说明

题目详情

已知数列an满足an+1=|an-1|（n∈N*），（1）若a1=
5
4
，求an；
（2）是否存在a1，n0（a1∈R，n0∈N*），使当n≥n0（n∈N*）时，an恒为常数．若存在求a1，n0，否则说明理由；
（3）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求an的前3k项的和S3k（用k，a表示）
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）a1=class="stub"5
4
，a2=class="stub"1
4
，a3=class="stub"3
4
，a4=class="stub"1
4
，
∴a1=class="stub"5
4
，n≥2时，
an=
class="stub"1
4
，n=2k
class="stub"3
4
，n=2k+1
，其中k∈N*
（2）因为存在an+1=|an-1|=
an-1，an≥1
-an+1，an＜1
，
所以当an≥1时，an+1≠an
①若0＜a1＜1，则a2=1-a1，a3=1-a2=a1，此时只需：a2=1-a1=a1，∴a1=class="stub"1
2

故存在a1=class="stub"1
2
，an=class="stub"1
2
，(n∈N*)
②若a1=b≥1，不妨设b∈[m，m+1），m∈N*，易知am+1=b-m∈[0，1），
∴am+2=1-am+1=1-（b-m）=am+1=b-m
∴b=m+class="stub"1
2
，∴a1=m+class="stub"1
2
，n≥m+1时，an=class="stub"1
2
，(m∈N*)
③若a1=c＜0，不妨设c∈（-l，-l+1），l∈N*，易知a2=-c+1∈（l，l+1]，
∴a3=a2-1=-c，，al+2=-c-（l-1）∈（0，1]
∴c=-l+class="stub"1
2
，∴a1=-l+class="stub"1
2
(l∈N*)，n≥l+2，则an=class="stub"1
2

故存在三组a1和n0：a1=class="stub"1
2
时，n0=1；a1=m+class="stub"1
2
时，n0=m+1；a1=-m+class="stub"1
2
时，n0=m+2其中m∈N*
（3）当a1=a∈（k，k+1）（k∈N*）时，
易知a2=a-1，a3=a-2，，ak=a-（k-1），
ak+1=a-k∈（0，1）ak+2=1-ak+1=k+1-a，
ak+3=1-ak+2=a-k，ak+4=1-ak+3=k+1-a，
a3k-1=a-k，a3k=k+1-a
∴S3k=a1+a2++ak+ak+1+ak+2+ak+3+ak+4++a3k-1+a3k=a+（a-1）+（a-2）++a-（k-1）+k-
k2
2
+k(a+class="stub"3
2
)

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