已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a,n∈N*.设公差不为零的等差数列{bn}满足:b1=a1+2,且b2+5,b4+5,b8+5成等比.(Ⅰ)求a及bn;(Ⅱ)设数列{log2an}的前n项

题目简介

已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a,n∈N*.设公差不为零的等差数列{bn}满足:b1=a1+2,且b2+5,b4+5,b8+5成等比.(Ⅰ)求a及bn;(Ⅱ)设数列{log2an}的前n项

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已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a,n∈N*.设公差不为零的等差数列{bn}满足:b1=a1+2,且b2+5,b4+5,b8+5成等比.
(Ⅰ) 求a及bn
(Ⅱ) 设数列{log
2
an}的前n项和为Tn.求使Tn>bn的最小正整数n的值.
题型:解答题难度:中档来源:浙江模拟

答案

(Ⅰ)∵等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a,n∈N*,
∴a1=S1=2-a,
a2=(22-a)-(2-a)=2,
a3=(23-a)-(22-a)=4,
a22=a1a3
∴22=(2-a)•4,解得a=1,
an=2n-1
∵公差不为零的等差数列{bn}满足:b1=a1+2,且b2+5,b4+5,b8+5成等比数列,
b1=3
(b4+5)2=(b2+5)(b8+5)

∴(8+3d)2=(8+d)(8+7d),
解得d=0(舍),或d=8,
∴bn=8n-5,n∈N*.
(Ⅱ)∵an=2n-1,∴log
2
an=log
2
(2n-1)
=2(n-1),
∴数列{log
2
an}的前n项和
Tn=2(1-1)+2(2-1)=2(3-1)+2(4-1)+…+2(n-1)
=2[0+1+2+3+…+(n-1)]
=2×
n(n-1)
2

=n(n-1).
∵bn=8n-5,Tn>bn,
∴n(n-1)>8n-5,
∵n∈N*,∴n≥9,
∴使Tn>bn的最小正整数n的值是9.

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