设函数f(x)=x(12)x+1x+1,O为坐标原点,An为函数y=f(x)图象上横坐标为n(n∈N*)的点,向量OAn与向量i=(1,0)的夹角为θn,则满足tanθ1+tanθ2+…+tanθn<

题目简介

设函数f(x)=x(12)x+1x+1,O为坐标原点,An为函数y=f(x)图象上横坐标为n(n∈N*)的点,向量OAn与向量i=(1,0)的夹角为θn,则满足tanθ1+tanθ2+…+tanθn<

题目详情

设函数f(x)=x(
1
2
x+
1
x+1
,O为坐标原点,An为函数y=f(x)图象上横坐标为n(n∈N*)的点,向量
OAn
与向量
i
=(1,0)的夹角为θn,则满足tanθ1+tanθ2+…+tanθn
5
3
的最大整数n的值为______.
题型:填空题难度:偏易来源:徐汇区二模

答案

由题意An(n,n(class="stub"1
2
)
n
+class="stub"1
n+1
)
OAn
=(n,n(class="stub"1
2
)
n
+class="stub"1
n+1
)

又向量
OAn
与向量
i
=(1,0)的夹角为θn,
∴tanθn=(class="stub"1
2
)
n
+class="stub"1
n(n+1)
=(class="stub"1
2
)
n
+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1

tanθ1+tanθ2+…+tanθn<class="stub"5
3

class="stub"1
2
×[1-(class="stub"1
2
)
n
]
1-class="stub"1
2
+1-class="stub"1
n+1
<class="stub"5
3

∴2-(class="stub"1
2
)
n
-class="stub"1
n+1
<class="stub"5
3

(class="stub"1
2
)
n
+class="stub"1
n+1
class="stub"1
3
,令n=1,2,3,4,分别代入验证知,n可取的最大值为3

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