首页 > 数列{an}满足a1=0，a2=2，an+2=(1+cos2nπ2)an+4sin2nπ2，n=1，2，3，…，（I）求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；（II）设Sk=a1+a3+…+a2k-

数列{an}满足a1=0，a2=2，an+2=(1+cos2nπ2)an+4sin2nπ2，n=1，2，3，…，（I）求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；（II）设Sk=a1+a3+…+a2k-

题目简介

数列{an}满足a1=0，a2=2，an+2=(1+cos2nπ2)an+4sin2nπ2，n=1，2，3，…，（I）求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；（II）设Sk=a1+a3+…+a2k-

题目详情

数列{an}满足a1=0，a2=2，an+2=(1+cos2
nπ
2
)an+4sin2
nπ
2
，n=1，2，3，…，
（I）求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；
（II）设Sk=a1+a3+…+a2k-1，Tk=a2+a4+…+a2k，Wk=
2Sk
2+Tk
(k∈N*)，求使Wk＞1的所有k的值，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：湖南

答案

（I）因为a1=0，a2=2，所以a3=(1+cos2class="stub"π
2
)a1+4sin2class="stub"π
2
=a1+4=4，a4=（1+cos2π）a2+4sin2π=2a2=4，一般地，当n=2k-1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2
(2k-1)π
2
]a2k-1+4sin2class="stub"2k-1
2
π=a2k-1+4，
即a2k+1-a2k-1=4．所以数列{a2k-1}是首项为0、公差为4的等差数列，
因此a2k-1=4（k-1）．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=[1+cos2class="stub"2kπ
2
]a2k+4sin2class="stub"2k
2
π=2a2k，
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k．
故数列{an}的通项公式为an=
2(n-1)，n=2k-1(k∈N*)
2class="stub"n
2
，n=2k(k∈N*)


（II）由（I）知，Sk=a1+a3++a2k-1=0+4++4（k-1）=2k（k-1），Tk=a2+a4++a2k=2+22+2k=2k+1-2，Wk=
2Sk
2+Tk
=
k(k-1)
2k-1
.
于是W1=0，W2=1，W3=class="stub"3
2
，W4=class="stub"3
2
，W5=class="stub"5
4
，W6=class="stub"15
16
．
下面证明：当k≥6时，Wk＜1．事实上，当k≥6时，Wk+1-Wk=
(k+1)k
2k
-
k(k-1)
2k-1
=
k(3-k)
2k
＜0，
即Wk+1＜Wk．
又W6＜1，所以当k≥6时，Wk＜1．
故满足Wk＞1的所有k的值为3，4，5．

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