首页 > 已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=2tan+2（n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）记数列{1anan+1}的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的

已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=2tan+2（n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）记数列{1anan+1}的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的

题目简介

已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=2tan+2（n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求通项an；（Ⅱ）记数列{1anan+1}的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的

题目详情

已知正项数列{ an }满足Sn+Sn-1=
2
ta
n
+2 （n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是数列{ an }的前n项和．
（Ⅰ）求通项an；
（Ⅱ）记数列{
1
anan+1
}的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的n∈N*都成立．求证：0＜t≤1．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵a1=1，由S2+S1=
2
ta
2
+2，
得a2=
2
ta
2
，∴a2=0（舍）或a2=class="stub"1
t
，
Sn+Sn-1=
2
ta
n
+2，①
Sn-1+Sn-2=
2
ta
n-1
+2 （n≥3）②
①-②得an+an-1=t（
2
a
n
-
2
a
n-1
）（n≥3），
（an+an-1）[1-t（an-an-1）]=0，
由数列{ an }为正项数列，
∴an+an-1≠0，故an-an-1=class="stub"1
t
（n≥3），
即数列{ an }从第二项开始是公差为class="stub"1
t
的等差数列．
∴an=
1n=1
class="stub"n-1
t
n≥2

（Ⅱ）证明：∵T1=1＜2，当n≥2时，
Tn=t+class="stub"t2
1×2
+class="stub"t2
2×3
+class="stub"t2
3×4
+…+class="stub"t2
(n-1)×n

=t+t2（1-class="stub"1
n
）
=t+t2class="stub"n-1
n
．
要使Tn＜2，对所有的n∈N*恒成立，
只要Tn=t+t2class="stub"n-1
n
＜t+t2≤2成立，
∴0＜t≤1．

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