各项均为正数的数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,对任意n∈N*,有2Sn=2pan2+pan-p(p∈R)(1)求常数p的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)记bn=4Sn

题目简介

各项均为正数的数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,对任意n∈N*,有2Sn=2pan2+pan-p(p∈R)(1)求常数p的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)记bn=4Sn

题目详情

各项均为正数的数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,对任意n∈N*,有2Sn=2pan2+pan-p(p∈R)
(1)求常数p的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)记bn=
4Sn
n+3
2n
,求数列{bn}的前n项和T.
题型:解答题难度:中档来源:湖北模拟

答案

(1)∵a1=1,对任意的n∈N*,有2Sn=2pan2+pan-p
∴2a1=2pa12+pa1-p,即2=2p+p-p,解得p=1;
(2)2Sn=2an2+an-1,①
2Sn-1=2an-12+an-1-1,(n≥2),②
①-②即得(an-an-1-class="stub"1
2
)(an+an-1)=0,
因为an+an-1≠0,所以an-an-1-class="stub"1
2
=0,
an=class="stub"n+1
2

(3)2Sn=2an2+an-1=2×
(n+1)2
4
+ class="stub"n+1
2
-1

∴Sn=
n2+3n
4

bn=
4Sn
n+3
2n
=n•2n
Tn=1×21+2×22+…+n•2n③
又2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)•2n+n2n+1 ④
④-③Tn=-1×21-(22+23+…+2n)+n2n+1=(n-1)2n+1+2
∴Tn=(n-1)2n+1+2

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