首页 > 已知首项为1的数列{an}满足：对任意正整数n，都有：a1•2a1-1+a2•2a2-1+a3•2a3-1+…+an•2an-1=(n2-2n+3)•2n+c，其中c是常数．（Ⅰ）求实数c的值；（Ⅱ）

已知首项为1的数列{an}满足：对任意正整数n，都有：a1•2a1-1+a2•2a2-1+a3•2a3-1+…+an•2an-1=(n2-2n+3)•2n+c，其中c是常数．（Ⅰ）求实数c的值；（Ⅱ）

题目简介

已知首项为1的数列{an}满足：对任意正整数n，都有：a1•2a1-1+a2•2a2-1+a3•2a3-1+…+an•2an-1=(n2-2n+3)•2n+c，其中c是常数．（Ⅰ）求实数c的值；（Ⅱ）

题目详情

已知首项为1的数列{an}满足：对任意正整数n，都有：a1•2
a1
-1+a2•2
a2
-1+a3•2
a3
-1+…+an•2
an
-1=(n2-2n+3)•2n+c，其中c是常数．
（Ⅰ）求实数c的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{
an
•(-
1
2
)
an
-1}的前n项和为Sn，求证：S2n-1＞S2m，其中m，n∈N*．
题型：解答题难度：中档来源：深圳二模

答案

（Ⅰ）当a=1时，1×20=2×2+c，
解得c=-3．
（Ⅱ）∵a1•2
a1
-1+a2•2
a2
-1+a3•2
a3
-1+…+an•2
an
-1=(n2-2n+3)•2n+c，①
∴a1•2
a1
-1+a2•2
a2
-1+a3•2
a3
-1+…+an-1•2
an-1
-1=[（n-1）2-2（n-1）+3]•2n-1+c，②
①-②，并整理，得an•2
a n
-1=n2•2n-1，
∴an=n2．
（Ⅲ）∵an=n2，
∴数列{
an
•(-class="stub"1
2
)
an
-1}={n•(-class="stub"1
2
)n-1}．
∴S2n-1=1+2•(-class="stub"1
2
) +3•(-class="stub"1
2
)2+…+（2n-1）•(-class="stub"1
2
)2n-2，
-class="stub"1
2
S2n-1=1•(-class="stub"1
2
) +2•(-class="stub"1
2
)2+…+（2n-2）•(-class="stub"1
2
)2n-2+（2n-1）•(-class="stub"1
2
)2n-1，
∴class="stub"3
2
S2n-1=1+(-class="stub"1
2
) +(-class="stub"1
2
)2+…+(-class="stub"1
2
)2n-2-（2n-1）•(-class="stub"1
2
)2n-1，
=
1×[1-(-class="stub"1
2
)2n-1]
1-(-class="stub"1
2
)
=class="stub"2
3
[1-(-class="stub"1
2
)2n-1]，
∴S2n-1=class="stub"4
9
[1-(-class="stub"1
2
)2n-1]＞class="stub"4
9
．
同理，S2m=class="stub"4
9
[1-(-class="stub"1
2
)2m]＜class="stub"4
9
．
∴S2n-1＞S2m，其中m，n∈N*．

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