设一次函数f(x)的图象关于直线y=x对称的图象为C,且f(-1)=0.若点(n+1,an+1an)(n∈N*)在曲线C上,并且a1=a2=1.(1)求曲线C的方程;(2)求数列{an}的通项公式;

题目简介

设一次函数f(x)的图象关于直线y=x对称的图象为C,且f(-1)=0.若点(n+1,an+1an)(n∈N*)在曲线C上,并且a1=a2=1.(1)求曲线C的方程;(2)求数列{an}的通项公式;

题目详情

设一次函数f(x)的图象关于直线y=x对称的图象为C,且f(-1)=0.若点(n+1,
an+1
an
)(n∈N*)在曲线C上,并且a1=a2=1.
(1)求曲线C的方程;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设Sn=
a1
2!
+
a2
3!
+…+
an
(n+1)!
,求Sn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设f(x)=ax+b(a≠0),则C的方程为y=class="stub"1
a
(x-b)

由f(-1)=0可得-a+b=0①
由(2,
a2
a1
)在曲线C上可得,1=class="stub"1
a
(2-b)

①②联立可得,a=b=1
曲线C的方程为y=x-1
(2)由点(n+1,
an+1
an
)在曲线C上可得,
an+1
an
=n

an
an-1
an-1
an-2
a2
a1
=(n-1)!

an
a1
=(n-1)!

∵a1=1
∴an=(n-1)!
(3)sn=class="stub"0!
2!
+class="stub"1!
3!
+…+
(n-1)!
(n+1)!

=class="stub"1
2×1
+class="stub"1
3×2
+…+class="stub"1
(n+1)n

=1-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1

=1-class="stub"1
n+1
=class="stub"n
n+1

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