已知数列{an}满足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2…an-1（n≥3），记bn-2=a12+a22+…+an2-a1a2…an（n≥3）．（1）求证数列{bn}为等差数列，并求其通项公式；

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已知数列{a_n}满足：a₁=a₂=a₃=2，a_n+1=a₁a₂…a_n-1（n≥3），记b_n-2=a₁²+a₂²+…+a_n²-a₁a₂…a_n（n≥3）．
（1）求证数列{b_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）设cn=1+

2n+1

，数列{

}的前n项和为S_n，求证：n＜S_n＜n+1．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）方法一  当n≥3时，因bn-2=a12+a22+…+an2-a1a2…an①，
故bn-1=a12+a22+…+an2+an+12-a1a2…anan+1②． …（2分）
②-①，得  bn-1-bn-2=an+12-a1a2…an（an+1-1）=an+12-（an+1+1）（an+1-1）=1，为常数，
所以，数列{bn}为等差数列． …（5分）
因  b1=a12+a22+a32-a1a2a3=4，故  bn=n+3．   …（8分）
方法二  当n≥3时，a1a2…an=1+an+1，a1a2…anan+1=1+an+2，
将上两式相除并变形，得  an+12=an+2-an+1+1．…（2分）
于是，当n∈N*时，bn=a12+a22+…+an+22-a1a2…an+2
=a12+a22+a32+（a5-a4+1）+…+（an+3-an+2+1）-a1a2…an+2
=a12+a22+a32+（an+3-a4+n-1）-（1+an+3）
=10+n-a4．
又a4=a1a2a3-1=7，故bn=n+3（n∈N*）．
所以数列{bn}为等差数列，且bn=n+3． …（8分）
（2）因  cn=1+class="stub"1

(n+3)2

+class="stub"1

(n+4)2

((n+3)(n+4)+1)2

(n+3)2(n+4)2

，…（12分）
故

(n+3)(n+4)+1

(n+3)(n+4)

=1+class="stub"1

(n+3)(n+4)

=1+class="stub"1

n+3

-class="stub"1

n+4

．
所以 Sn=(1+class="stub"1

-class="stub"1

)+(1+class="stub"1

-class="stub"1

)+…+(1+class="stub"1

n+3

-class="stub"1

n+4

)=n+class="stub"1

-class="stub"1

n+4

，…（15分）
即 n＜Sn＜n+1． …（16分）

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已知数列{an}满足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2…an-1（n≥3），记bn-2=a12+a22+…+an2-a1a2…an（n≥3）．（1）求证数列{bn}为等差数列，并求其通项公式；

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