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已知函数f(x)=(x+2)2(x＞0)，设正项数列an的首项a1=2，前n项和Sn满足Sn=f（Sn-1）（n＞1，且n∈N*）．（1）求an的表达式；（2）在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为an

题目简介

已知函数f(x)=(x+2)2(x＞0)，设正项数列an的首项a1=2，前n项和Sn满足Sn=f（Sn-1）（n＞1，且n∈N*）．（1）求an的表达式；（2）在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为an

题目详情

已知函数f(x)=(
x
+
2
)2(x＞0)，设正项数列an的首项a1=2，前n 项和Sn满足Sn=f（Sn-1）（n＞1，且n∈N*）．
（1）求an的表达式；
（2）在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为an，且ln与曲线y=x2相切，ln又与y轴交于点Dn（0，bn），当n∈N*时，记dn=
1
4
|
Dn+1Dn
|-1，若Cn=
d2n+1
+
d2n
2dn+1dn
，求数列cn的前n 项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由Sn=(
Sn-1
+
2
)2得：
Sn
-
Sn-1
=
2
，所以数列{
Sn
}是以
2
为公差的等差数列．
∴
Sn
=
2
n，Sn=2n2，an=Sn-Sn-1=4n-2（n≥2），又a1=2．∴an=4n-2（n∈N*）
（2）设ln：y=anx+bn，由
y=anx+bn
y=x2
⇒x2-anx-b n=0，
据题意方程有相等实根，
∴△=an2+4bn=0，
∴bn=-class="stub"1
4
an2=-class="stub"1
4
(4n-2)2=-（2n-1）2，
当n∈N+时，dn=class="stub"1
4
|bn-bn+1|-1=class="stub"1
4
|-(2n-1)2+(2n+1)2|-1=2n-1，
∴Cn=
(2n+1)2+(2n-1)2
2(4n2-1)
=
8n2+2
2(4n2-1)
=
4n2+1
4n2-1
=1+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)，
∴Tn=C1+C2+C3+…+Cn=n+(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+(class="stub"1
5
-class="stub"1
7
)+…+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)
=n+1-class="stub"1
2n+1
=
2n2+3n
2n+1
．

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