首页 > 若数列{an}和{bn}满足关系：an=1+bn1-bn，an+1=12(an+1an)n∈N*，a1=3．（1）求证：数列{lgbn}是等比数列；（2）设Tn=b1b2b3…bn，求满足Tn≥112

若数列{an}和{bn}满足关系：an=1+bn1-bn，an+1=12(an+1an)n∈N*，a1=3．（1）求证：数列{lgbn}是等比数列；（2）设Tn=b1b2b3…bn，求满足Tn≥112

题目简介

若数列{an}和{bn}满足关系：an=1+bn1-bn，an+1=12(an+1an)n∈N*，a1=3．（1）求证：数列{lgbn}是等比数列；（2）设Tn=b1b2b3…bn，求满足Tn≥112

题目详情

若数列{an}和{bn}满足关系：an=
1+bn
1-bn
，an+1=
1
2
(an+
1
an
)n∈N*，a1=3．
（1）求证：数列{lgbn}是等比数列；
（2）设Tn=b1b2b3…bn，求满足Tn≥
1
128
的n的集合M；
（3）设cn=
2
bn
bn-1
，{cn}的前n项和为Sn，试探索an与Sn之间的关系式．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵an=
1+bn
1-bn
∴an+1=
1+bn+1
1-bn-1
 由an+1=class="stub"1
2
(an+class="stub"1
an
)，得
1+bn+1
1-bn+1
=class="stub"1
2
(
1+bn
1-bn
+
1-bn
1+bn
)=
1+
b2n
1-
b2n
，
∴bn+1=
b2n
，即lgbn+1=2lgbn，
又
1+b1
1-b1
=a1=3，b1=class="stub"1
2
，lgb1=-lg2≠0，
所以数列{lgbn}是等比数列，首项-lg2，公比2；
（2）由（1）得：lgbn=(-lg2)•2n-1⇒bn=(class="stub"1
2
)2n-1，Tn=b1b2…bn=(class="stub"1
2
)1+2+…+2n-1=(class="stub"1
2
)2n-1≥class="stub"1
128
⇒2n-1≤7
∴2n≤8，即n≤3，又因为n∈N*
∴M={1，2，3}；
（3）因为an=
1+bn
1-bn
，所以an=
1+(class="stub"1
2
)2n-1
1-(class="stub"1
2
)2n-1
=
22n-1+1
22n-1-1
=1+class="stub"2
(22n-2+1)(22n-2-1)
=1+class="stub"1
22n-2-1
-class="stub"1
22n-2+1

同理an-1═
22n-2+1
22n-2-1
=1+class="stub"2
22n-2-1
，则an-an-1=
2•22n-2
1-22n-1
，又cn=
2
bn
1-bn
=
2•22n-2
1-22n-1

∴an-an-1=cn（n≥2），
∴an-a1=sn-c1，
∵a1=3，c1=-2
2

∴an=Sn+3+2
2
．

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