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> 对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-[f(x)]2+12,设an=[f(n)]2-f(n),数列{an}的前15项的和为-3116,则f(15)=______.-数学
对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-[f(x)]2+12,设an=[f(n)]2-f(n),数列{an}的前15项的和为-3116,则f(15)=______.-数学
题目简介
对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-[f(x)]2+12,设an=[f(n)]2-f(n),数列{an}的前15项的和为-3116,则f(15)=______.-数学
题目详情
对任意x∈R,函数f(x)满足
f(x+1)=
f(x)-
[f(x)]
2
+
1
2
,设a
n
=[f(n)]
2
-f(n),数列{a
n
}的前15项的和为
-
31
16
,则f(15)=______.
题型:填空题
难度:中档
来源:东城区二模
答案
∵
f(x+1)=
f(x)-
[f(x)]
2
+
class="stub"1
2
,
∴
f(x+1)-
class="stub"1
2
=
f(x)-
[f(x)]
2
,
两边平方得
[f(x+1)-
class="stub"1
2
]
2
=f(x)-
[f(x)]
2
⇒[f(x+1)
]
2
-f(x+1)+
class="stub"1
4
=f(x)-[f(x)
]
2
,
即
a
n+1
+
a
n
=-
class="stub"1
4
,即数列{an}任意相邻两项相加为常数
-
class="stub"1
4
,
则
S
15
=7×(-
class="stub"1
4
)+
a
15
=-
class="stub"31
16
⇒
a
15
=-
class="stub"3
16
,
即
[f(15)
]
2
-f(15)=-
class="stub"3
16
⇒f(15)=
class="stub"3
4
或f(15)=
class="stub"1
4
,
又由
f(x+1)=
f(x)-
[f(x)]
2
+
class="stub"1
2
≥
class="stub"1
2
,
可得
f(15)=
class="stub"3
4
.
故答案为:
class="stub"3
4
.
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答案
∴f(x+1)-
两边平方得[f(x+1)-
⇒[f(x+1)]2-f(x+1)+
即an+1+an=-
则S15=7×(-
即[f(15)]2-f(15)=-
又由f(x+1)=
可得f(15)=
故答案为: