首页 > 设函数f（x）=2x2x+2的图象上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若OP=12（OP1+OP2），且点P的横坐标为12．（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）求Sn=f（

设函数f（x）=2x2x+2的图象上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若OP=12（OP1+OP2），且点P的横坐标为12．（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）求Sn=f（

题目简介

设函数f（x）=2x2x+2的图象上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若OP=12（OP1+OP2），且点P的横坐标为12．（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）求Sn=f（

题目详情

设函数f（x）=
2x
2x+
2
的图象上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若
OP
=
1
2
（
OP1
+
OP2
），且点P的横坐标为
1
2
．
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）求Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+A+f（
n-1
n
）+f（
n
n
）
（3）记Tn为数列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}的前n项和，若Tn＜a（Sn+1+
2
）对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

（1）证：∵
OP
=class="stub"1
2
（
OP1
+
OP2
），
∴P是P1P2的中点⇒x1+x2=1------（2分）
∴y1+y2=f（x1）+f（x2）=
2x1
2x1+
2
+
2x2
2x2+
2
=
2x1
2x1+
2
+
21-x1
21-x1+
2
=
2x1
2x1+
2
+class="stub"2
2
•2x1+2
=1．
∴yp=class="stub"1
2
(y1+y2)=class="stub"1
2
．．-----------------------------（4分）
（2）由（1）知x1+x2=1，f （x1）+f （x2）=y1+y2=1，f （1）=2-
2
，
Sn=f（class="stub"1
n
）+f（class="stub"2
n
）+…+f（class="stub"n-1
n
）+f（class="stub"n
n
），
Sn=f（class="stub"n
n
）+f（class="stub"n-1
n
）+…+f（class="stub"2
n
）+f（class="stub"1
n
），
相加得 2Sn=f（1）+[f（class="stub"1
n
）+f（class="stub"n-1
n
）]+[f（class="stub"2
n
）+f（class="stub"n-2
n
）]+…+[f（class="stub"n-1
n
）+f（class="stub"1
n
）]+f（1），
=2f（1）+n-1=n+3-2
2

∴Sn=
n+3-2
2
2
．------------（8分）
（3）class="stub"1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
=class="stub"1
class="stub"n+3
2
•class="stub"n+4
2
=class="stub"4
(n+3)(n+4)
=4(class="stub"1
n+3
-class="stub"1
n+4
)，
Tn=4[(class="stub"1
4
-class="stub"1
5
)+(class="stub"1
5
-class="stub"1
6
)+…+(class="stub"1
n+3
-class="stub"1
n+4
)]--------------------（10分）　
　Tn＜a(Sn+1+
2
)⇔a＞
Tn
Sn+1+
2
=class="stub"2n
(n+4)2
=class="stub"2
n+class="stub"16
n
+8

∵n+class="stub"16
n
≥8，当且仅当n=4时，取“=”
∴class="stub"2
n+class="stub"16
n
+8
≤class="stub"2
8+8
=class="stub"1
8
，因此，a＞class="stub"1
8
-------------------（12分）

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