首页 > 已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1，an+1=an-f(an)f′(an)（n=1，2，…）．（1）求α，β的值；（2）

已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1，an+1=an-f(an)f′(an)（n=1，2，…）．（1）求α，β的值；（2）

题目简介

已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1，an+1=an-f(an)f′(an)（n=1，2，…）．（1）求α，β的值；（2）

题目详情

已知函数f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1，an+1=an-
f(an)
f′(an)
（n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有an＞α；
（3）记bn=ln
an-β
an-α
（n=1，2，…），求数列{bn}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：广东

答案

（1）∵f（x）=x2+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），
∴α=
-1+
5
2
，β=
-1-
5
2
；
（2）f'（x）=2x+1，an+1=an-
a2n
+an-1
2an+1
=an-
class="stub"1
2
an(2an+1)+class="stub"1
4
(2an+1)-class="stub"5
4
2an+1

=class="stub"1
4
(2an+1)+
class="stub"5
4
2an+1
-class="stub"1
2
，
∵a1=1，
∴有基本不等式可知a2≥
5
-1
2
＞0（当且仅当a1=
5
-1
2
时取等号），
∴a2＞
5
-1
2
＞0，同样a3＞
5
-1
2
，an＞
5
-1
2
=α（n=1，2），

（3）an+1-β=an-β-
(an-α)(an-β)
2an+1
=
an-β
2an+1
(an+1+α)
而α+β=-1，即α+1=-β，an+1-β=
(an-β)2
2an+1
，
同理an+1-α=
(an-α)2
2an+1
，bn+1=2bn，
又b1=lnclass="stub"1-β
1-α
=ln
3+
5
3-
5
=2ln
3+
5
2
sn=2(2n-1)ln
3+
5
2

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