首页 > 各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn=(an+12)2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若1a1a2+1a2a3+…+1anan+1＜k恒成立，求k的取值范围；（3）对任意m∈N*，将数列

各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn=(an+12)2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若1a1a2+1a2a3+…+1anan+1＜k恒成立，求k的取值范围；（3）对任意m∈N*，将数列

题目简介

各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn=(an+12)2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若1a1a2+1a2a3+…+1anan+1＜k恒成立，求k的取值范围；（3）对任意m∈N*，将数列

题目详情

各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn=(
an+1
2
)2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜k恒成立，求k的取值范围；
（3）对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间（2m，22m）内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵Sn=(
an+1
2
)2，
∴Sn-1=(
an-1+1
2
)2，n≥2，
两式相减得an=(
an+1
2
)2-(
an-1+1
2
)2，n≥2，…（2分）
整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵数列{an}的各项均为正数，
∴an-an-1=2，n≥2，∴{an}是公差为2的等差数列，…（4分）
又S1=(
a1+1
2
)2得a1=1，∴an=2n-1．…（5分）
（2）由题意得k＞(class="stub"1
a1a2
+class="stub"1
a2a3
+…+class="stub"1
anan+1
)max，
∵class="stub"1
anan+1
=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)，
∴class="stub"1
a1a2
+class="stub"1
a2a3
+…+class="stub"1
anan+1
=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]
=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)＜class="stub"1
2
…（8分）∴k≥class="stub"1
2
…（10分）
（3）对任意m∈N+，2m＜2n-1＜22m，则2m-1+class="stub"1
2
＜n＜22m-1+class="stub"1
2
，
而n∈N*，由题意可知bm=22m-1-2m-1，…（12分）
于是Sm=b1+b2+…+bm=21+23+…+22m-1-(20+21+…+2m-1)
=
2-22m+1
1-22
-
1-2m
1-2
=
22m+1-2
3
-(2m-1)=
22m+1-3•2m+1
3
，
即Sm=
22m+1-3•2m+1
3
．…（16分）

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