首页 > 已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn=an+1-an．（Ⅰ）若bn=n+1，求a4；（Ⅱ）若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=a，b2=b（ab≠0）．（ⅰ）当a=1，b=2

已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn=an+1-an．（Ⅰ）若bn=n+1，求a4；（Ⅱ）若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=a，b2=b（ab≠0）．（ⅰ）当a=1，b=2

题目简介

已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn=an+1-an．（Ⅰ）若bn=n+1，求a4；（Ⅱ）若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=a，b2=b（ab≠0）．（ⅰ）当a=1，b=2

题目详情

已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn=an+1-an．
（Ⅰ） 若bn=n+1，求a4；
（Ⅱ） 若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=a，b2=b（ab≠0）．
（ⅰ）当a=1，b=2时，求数列{bn}的前3n项和；
（ⅱ）当a=1时，求证：数列{an}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由a1=1及bn=n+1，令n=1，得到a2=a1+b1=1+2=3，
令n=2，得到a3=a2+b2=3+3=6，
令n=4，得到a4=a3+b3=6+4=10；

（Ⅱ）（ⅰ）因为bn+1bn-1=bn（n≥2），
所以，对任意的n∈N*有bn+6=
bn+5
bn+4
=class="stub"1
bn+3
=
bn+1
bn+2
=bn，
即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6．（5分）
又数列{bn}的前6项分别为1，2，2，1，class="stub"1
2
，class="stub"1
2
，且这六个数的和为7．
设数列{bn}的前n项和为Sn，
则当n=2k（k∈N*）时，S3n=S6k=k（b1+b2+b3+b4+b5+b6）=7k，
当n=2k+1（k∈N*）时，S3n=S6k+3=k（b1+b2+b3+b4+b5+b6）+b6k+1+b6k+2+b6k+3=7k+b1+b2+b3=7k+5，（7分）
所以，当n为偶数时，S3n=class="stub"7
2
n；当n为奇数时，S3n=class="stub"7n+3
2
．（8分）

（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n∈N*有bn+6=bn，
又数列{bn}的前6项分别为1，b，b，1，class="stub"1
b
，class="stub"1
b
，且这六个数的和为2b+class="stub"2
b
+2．
设cn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），
所以cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5+b6n+i+6=2b+class="stub"2
b
+2．
所以，数列{a6n+i}均为以2b+class="stub"2
b
+2为公差的等差数列．（10分）
因为b＞0时，2b+class="stub"2
b
+2＞0，b＜0时，2b+class="stub"2
b
+2≤-2＜0，（12分）
所以{a6n+i}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次．
所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次．（14分）

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