设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-(12)n-1,n∈N.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列bn=(2n-15)an.(i)求数列{bn}的前n项和Tn;(ii)求bn的最大值.-

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-(12)n-1,n∈N.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列bn=(2n-15)an.(i)求数列{bn}的前n项和Tn;(ii)求bn的最大值.-

题目详情

设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-(
1
2
)
n-1
,n∈N

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列bn=(2n-15)an
(i)求数列{bn}的前n项和Tn
(ii)求bn的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)由已知,可得
①当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2-(class="stub"1
2
)
n-1
-[2-(class="stub"1
2
)n-2]
=(class="stub"1
2
)n-1
           …(2分)
②当n=1时,a1=S1=1,也符合上式.…(3分)
综上所述,可得对任意的n∈N*,{an}的通项公式是an=(class="stub"1
2
)n-1          …(4分)
(Ⅱ)由(I)得bn=(2n-15)an=(2n-15)(class="stub"1
2
)n-1
(i)Tn=-13+(-11)•class="stub"1
2
+(-9)•(class="stub"1
2
)2+…+(2n-15)(class="stub"1
2
)n-1
两边都乘以class="stub"1
2
,得class="stub"1
2
Tn=-13•class="stub"1
2
+(-11)•(class="stub"1
2
)2+(-9)•(class="stub"1
2
)3+…+(2n-15)(class="stub"1
2
)n  …(6分)
两式相减,得class="stub"1
2
Tn=-13+2[class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
)2+…+(class="stub"1
2
)n-1]-(2n-15)(class="stub"1
2
)n …(8分)
class="stub"1
2
Tn=-13+
1-class="stub"1
2n-1
1-class="stub"1
2
-(2n-15)(class="stub"1
2
)n=-11+(11-2n)•class="stub"1
2n

∴Tn=-22+(11-2n)•class="stub"1
2n-1
      …(10分)
(ii)∵bn+1-bn=(2n-13)(class="stub"1
2
)n-(2n-15)(class="stub"1
2
)n-1=(-2n+17)(class="stub"1
2
)n…(11分)
∴当n<class="stub"17
2
时,得bn+1-bn>0,且当n>class="stub"17
2
时bn+1-bn<0        …(12分)
由此可得:b1<b2<b3…<b8<b9,且b9>b10>…,
∴b9是{bn}各项中最大值…(13分)
又∵b9=3a9=3×class="stub"1
28
=class="stub"3
256

因此,bn的最大值为class="stub"3
256
        …(14分)

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