设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn2-2Sn-anSn+1=0,n=1,2,3,….(1)求a1,a2;(2)求Sn的表达式.-数学

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn2-2Sn-anSn+1=0,n=1,2,3,….(1)求a1,a2;(2)求Sn的表达式.-数学

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设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn2-2Sn-anSn+1=0,n=1,2,3,….
(1)求a1,a2
(2)求Sn的表达式.
题型:解答题难度:中档来源:江西模拟

答案

(1)当n=1时,由已知得
a21
-2a1-
a21
+1=0,解得a1=class="stub"1
2

同理,可解得a2=class="stub"1
6

(2)由题设Sn2-2Sn+1-anSn=0,当n≥2(n∈N*)时,an=Sn-Sn-1,
代入上式,得Sn-1Sn-2Sn+1=0.(*)
由(1)可得S1=a1=class="stub"1
2
S2=a1+a2=class="stub"1
2
+class="stub"1
6
=class="stub"2
3
.由(*)式可得S3=class="stub"3
4

由此猜想:Sn=class="stub"n
n+1
(n∈N*)
(8分)
证明:①当n=1时,结论成立.②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,
Sk=class="stub"k
k+1
,那么,由(*)得Sk+1=class="stub"1
2-Sk
,∴Sk+1=class="stub"1
2-class="stub"k
k+1
=class="stub"k+1
k+2

所以当n=k+1时结论也成立,根据①和②可知,Sn=class="stub"n
n+1
对所有正整数n都成立.因Sn=class="stub"n
n+1

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