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> 已知数列{an}满足a1=1，a2=12，an-1an+anan+1=2an-1an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Sn=1-12n，试求数列{bnan}的前n项
已知数列{an}满足a1=1，a2=12，an-1an+anan+1=2an-1an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Sn=1-12n，试求数列{bnan}的前n项
题目简介
已知数列{an}满足a1=1，a2=12，an-1an+anan+1=2an-1an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Sn=1-12n，试求数列{bnan}的前n项
题目详情
已知数列{a
n
}满足
a
1
=1，
a
2
=
1
2
，
a
n-1
a
n
+
a
n
a
n+1
=2
a
n-1
a
n+1
．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b
n
}的前n项和为
S
n
=1-
1
2
n
，试求数列
{
b
n
a
n
}
的前n项和T
n
；
（Ⅲ）记数列
{1-
a
2n
}
的前n项积为
∏limit
s
ni=2
(1-
a
2i
)
，试证明：
1
2
＜∏limit
s
ni=2
(1-
a
2i
)＜1
．
题型：解答题
难度：中档
来源：不详
答案
（Ⅰ）由
a
n-1
a
n
+
a
n
a
n+1
=2
a
n-1
a
n+1
⇒
a
n
(
a
n-1
+
a
n+1
)=2
a
n-1
a
n+1
⇒
a
n-1
+
a
n+1
a
n-1
a
n+1
=
class="stub"2
a
n
⇒
class="stub"1
a
n+1
+
class="stub"1
a
n-1
=
class="stub"2
a
n
⇒
class="stub"1
a
n+1
-
class="stub"1
a
n
=
class="stub"1
a
n
-
class="stub"1
a
n-1
．
而
a
1
=1且
class="stub"1
a
2
-
class="stub"1
a
1
=2-1=1
，
因此
{
class="stub"1
a
n
}
是首项为1，公差为1的等差数列．
从而
class="stub"1
a
n
=1+1×(n-1)=n⇒
a
n
=
class="stub"1
n
．
（Ⅱ）当n=1时，
b
1
=
S
1
=1-
class="stub"1
2
=
class="stub"1
2
．
当n≥2时，
b
n
=
S
n
-
S
n-1
=(1-
class="stub"1
2
n
)-(1-
class="stub"1
2
n-1
)=
class="stub"1
2
n
．
而b1也符合上式，故
b
n
=
class="stub"1
2
n
，从而：
b
n
a
n
=
class="stub"n
2
n
．
所以
T
n
=
class="stub"1
2
1
+
class="stub"2
2
2
+
class="stub"3
2
3
+…+
class="stub"n
2
n
⇒
class="stub"1
2
T
n
=
class="stub"1
2
2
+
class="stub"2
2
3
+
class="stub"3
2
4
+…+
class="stub"n
2
n+1
．
将上面两式相减，可得：
class="stub"1
2
T
n
=
class="stub"1
2
1
+
class="stub"1
2
2
+
class="stub"1
2
3
+…+
class="stub"1
2
n
-
class="stub"n
2
n+1
=
class="stub"1
2
(1-
class="stub"1
2
n
)
1-
class="stub"1
2
-
class="stub"n
2
n+1
=1-
class="stub"1
2
n
-
class="stub"n
2
n+1
⇒
T
n
=2-
class="stub"n+2
2
n
．
（Ⅲ）因为
1-
a
2n
=1-(
class="stub"1
n
)
2
=(1+
class="stub"1
n
)(1-
class="stub"1
n
)=
class="stub"n+1
n
•
class="stub"n-1
n
．
故
∏limit
s
ni=2
(1-
a
2i
)=(
class="stub"3
2
•
class="stub"1
2
)•(
class="stub"4
3
•
class="stub"2
3
)•(
class="stub"5
4
•
class="stub"3
4
)•…•(
class="stub"n+1
n
•
class="stub"n-1
n
)=(
class="stub"3
2
•
class="stub"4
3
•
class="stub"5
4
•…•
class="stub"n+1
n
)•(
class="stub"1
2
•
class="stub"2
3
•
class="stub"3
4
•…•
class="stub"n-1
n
)
class="stub"n+1
2
•
class="stub"1
n
=
class="stub"1
2
(1+
class="stub"1
n
)
．
由于n≥2，n∈N*，故
0＜
class="stub"1
n
≤
class="stub"1
2
，从而
class="stub"1
2
＜
class="stub"1
2
(1+
class="stub"1
n
)≤
class="stub"3
4
＜1
，即
class="stub"1
2
＜∏limit
s
ni=2
(1-
a
2i
)＜1
．
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已知等比数列{an}中，an＞0，a2=14，S4
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设Sn是等差数列{an}的前n项之
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设数列{an}的前n项和为Sn，Tn=S1+S2+…+Snn，称Tn为数列a1，a2，…an的“理想数”，已知数列a1，a2，…a500的“理想数”为2004，那么数列2，a1，a2，…a500的“理
已知数列{}的前n项和为，且满足a1=1，=t+1（n∈N+，t∈R）．（1）求数列{}的通项公式；（2）求数列{n}的前n项和为Tn．-高三数学
已知数列{an}的前n项和Sn=12n(n-1)，且an是bn与1的等差中项．（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）令cn=an3n，求数列{Cn}的前n项和Tn；（3）若f(n)=an
已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2+4n+1，数列{bn}的首项b1=2，且点（bn，bn+1）在直线y=2x上．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn=an•bn，求数列{cn
设函数f(x)=1x+1，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），若向量an=A0A1+A1A2+…+An-1An，θn是an与i的夹角，（其中i=(1，0)），设Sn=tanθ1+t
已知数列{an}满足11-an+1-11-an=1，且a1=0．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=n•2nan，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）设cn=1-an+1n，记Tn=nk=1
定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方数列”．已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数．（1）证明：数列{2a
对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”，若a1=2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn=（）-高一数学
正项数列{an}满足a1=1，a2n+1=a2n+an+14，则1a1a2+1a2a3+…1anan+1=（）A．2-4n+2B．1-2n+2C．4-2n+1D．2-4n+1-数学
已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及Sn=a1+2a2+3a3+…+nan；（2）试比较Sn与n3的大小，并
有限数列A={a1，a2，a3，…an}，Sn是其前n项和，定义：S1+S2+S3+…+Snn为A的“凯森和”，如有99项的数列A={a1，a2，a3，…a99}的“凯森和”为1000，则有100项的
有限数列A=（a1，a2，…，an），Sn为其前n项和，定义S1+S2+…+Snn为A的“优化和”；现有2007项的数列（a1，a2，…，a2007）的“优化和”为2008，则有2008项的数列（1，
设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn=S1+S2+…+Snn，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a401的“理想数”为2010，那么数列6，a1，a2，…，a40
各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且点（an，Sn）在函数的图象上，（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，求证：．-高三数学
已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10。（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）记Tn=anb1+an-1b2+…+
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=13（an-1）（n∈N*）（1）求a1，a2，a3的值．（2）求an的通项公式．-数学
112+214+318+…+101210=______．-数学
已知集合{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中最大的数与后一个集合中最小的数是连续奇-数学
数列1×4，2×5，3×6，…，n×（n+3），…则它的前n项和Sn=______．-数学
等差数列{an}中，a1、a2、a3分别是下表第一、二、三列中的某个数，且a1、a2、a3中的任何两个数不在下表的同一行．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和-高三数学
数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,点(an+1,Sn)在直线2x+y-2=0上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)当(∈R)恒成立时,求的最小值;(3)当时,求证:-高三数
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an，(n为正奇数)an+1，(n为正偶数)，则其前6项之和是（）A．16B．20C．33D．120-数学
设数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{bn}的前n项和为Sn=1﹣（n∈N*），（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=anbn，n=1，2，3，…，求数列{cn}
已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n+b，且a1=3．（1）求a、b的值及数列{an}的通项公式；（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．-高三数学
设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a2+b2=8，T3-S3=15（1）求{an}，{bn}的通项公式。（2）若数列{cn}满足
如图，程序框图所进行的求和运算是（）A．12+14+16+…+120B．1+13+15+…+119C．1+12+14+…+118D．12+122+123+…+1210-数学
数列{an}的前n项和为Sn，Sn+an=-12n2-32n+1（n∈N*）（Ⅰ）设bn=an+n，证明：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{nbn}的前n项和Tn；（Ⅲ）若cn=(12)n-an，
已知数列{an}中，a1=12，an=1-1an-1（n≥2），则S2009=______．-数学
设y=f（x）是一次函数，若f（0）=1，且f（1），f（4），f（13）成等比数列，则f（2）+f（4）+…+f（2n）等于（）A．n（2n+3）B．n（n+4）C．2n（2n+3）D．2n（n+4
已知数列{an}的前n项和为Sn，（1）证明：数列是等差数列，并求Sn；（2）设，求证：b1+b2+…+bn＜1．-高三数学
已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=32，2Sn+1=3Sn+2（n∈N*）．（1）证明数列{an}为等比数列，并求出通项公式；（2）设数列{bn}的通项bn=1an，求数列{bn}的前n项的和T
设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．（1）设bn=an2n，求证：数列{bn}是等差数列：（2）设数列{cn}满足cn=1log2(ann+1)+1（n∈N*），T
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N﹡。（1）求an，bn；（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn。-高三数学
已知数列{an}的通项公式an=n2n，求其前5项的和（）A．3116B．5532C．3716D．5732-数学
已知数列{an}满足．（I）求数列的前三项a1，a2，a3；（II）求证：数列为等差数列；（III）求数列{an}的前n项和Sn．-高三数学
等比数列{an}为递增数列，且a4=23，a3+a5=209，数列bn=log3an2（n∈N*）．（1）求数列{bn}的前n项和Sn；（2）Tn=b1+b2+b22+…+b2n-1，求使Tn＞0成立
设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足：S4=8且a1，a2，a5成等比数列.（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足：，n∈N*，Tn为数列{bn}的前n项和,问
用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，…，依此类推，每一层都用去了前一层剩下的一半多一块，如果到第9层恰好砖用光．那么，共-数学
数列{an}、{bn}满足an•bn=1，an=n2+3n+2，则{bn}的前10项之和等于（）A．13B．512C．12D．712-数学
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a=12，c=12，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn
在数列{an}中，a1=1，a2=12，2an=1an+1+1an-1（n≥2，n∈N+），令bn=anan+1，则数列{bn}的前n项和为______．-数学
已知数列{an}、{bn}满足：，an+bn=1，．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若，求数列{cn}的前n项和Sn．-高三数学
数列{an}是等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x-1），其中f（x）=x2-4x+2，数列{an}前n项和存在最小值。（Ⅰ）求通项公式an（Ⅱ）若，求数列{an·bn}的前n项和Sn
已知数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n﹣1an=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项；（Ⅱ）若求数列{bn}的前n项Sn和．-高三数学
下面的数组均由三个数组成，它们是：（1，2，3）、（2，4，6）、（3，8，11）、（4，16，20）、（5，32，37）、…、（an，bn，cn），若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10=____
已知数列{}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是
从数列{3n+log2n}中，顺次取出第2项、第4项、第8项、…、第2n项、…，按原来的顺序组成一个新数列{an}，则{an}的通项an=______，前5项和S5等于______．-数学
记n项正项数列为a1，a2，…，an，Tn为前n项的积，定义nT1T2…Tn为“叠乘积”．如果有1618项的正项数列a1，a2，…，a1618的“叠乘积”为21619，则有1619项数列2，a1，a2
设函数f(x，y)=(1+my)x(m＞0，y＞0)．（1）当m=3时，求f（6，y）的展开式中二项式系数最大的项；（2）若f(4，y)=a0+a1y+a2y2+a3y3+a4y4且a3=32，求4i
在数列{an}中，a1=1，an+1=an+1n(n+1)，n∈N*，则an=（）A．2n-1nB．2nn+1C．3n-1n+1D．2n(n+1)-数学
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题目简介
已知数列{an}满足a1=1，a2=12，an-1an+anan+1=2an-1an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Sn=1-12n，试求数列{bnan}的前n项
题目详情
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Sn=1-
（Ⅲ）记数列{1-
答案
⇒
而a1=1且
因此{
从而
（Ⅱ）当n=1时，b1=S1=1-
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(1-
而b1也符合上式，故bn=
所以Tn=
将上面两式相减，可得：
（Ⅲ）因为1-
故∏limit
由于n≥2，n∈N*，故0＜