首页 > 数列{an}的前n项和为Sn，Sn+an=-12n2-32n+1（n∈N*）（Ⅰ）设bn=an+n，证明：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{nbn}的前n项和Tn；（Ⅲ）若cn=(12)n-an，

数列{an}的前n项和为Sn，Sn+an=-12n2-32n+1（n∈N*）（Ⅰ）设bn=an+n，证明：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{nbn}的前n项和Tn；（Ⅲ）若cn=(12)n-an，

题目简介

数列{an}的前n项和为Sn，Sn+an=-12n2-32n+1（n∈N*）（Ⅰ）设bn=an+n，证明：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{nbn}的前n项和Tn；（Ⅲ）若cn=(12)n-an，

题目详情

数列{an}的前n项和为Sn，Sn+an=-
1
2
n2-
3
2
n+1（n∈N*）
（Ⅰ）设bn=an+n，证明：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nbn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）若cn=(
1
2
)n-an，dn=
1+
1
cn2
+
1
cn+12
，P=d1+d2+d3+…+d2013，求不超过P的最大整数的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ） 因为Sn+an=-class="stub"1
2
n2-class="stub"3
2
n+1（n∈N*）
所以   ①当n=1时，2a1=-1，则a1=class="stub"1
2
，…．（1分）
②当n≥2时，Sn-1+an-1=-class="stub"1
2
(n-1)2-class="stub"3
2
(n-1)+1
，…．（2分）
所以2an-an-1=-n-1，即2（an+n）=a n-1+n-1，
所以bn=class="stub"1
2
b n-1（n≥2），而b1=a1+1=class="stub"1
2
，…．（3分）
所以数列数列{bn}是首项为class="stub"1
2
，公比为class="stub"1
2
的等比数列，所以bn=（class="stub"1
2
）n
（Ⅱ）  由（Ⅰ）得nbn=class="stub"n
2n
．
所以  ①Tn=class="stub"1
2
+class="stub"2
22
+class="stub"3
23
+class="stub"4
24
+…+class="stub"n-1
2n-1
+class="stub"n
2n

②2Tn=1+class="stub"2
2 
+class="stub"3
22
+class="stub"4
23
+…+class="stub"n-1
2n-2
+class="stub"n
2n-1
…．（6分）
②-①得：Tn=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"n
2n
…．（7分）Tn=
1-(class="stub"1
2
)n
1-class="stub"1
2
-class="stub"n
2n
=2-class="stub"n+2
2n
…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a n=(class="stub"1
2
)n-n∴cn=n…（9分）
而dn=
1+class="stub"1
n2
+class="stub"1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+(n+1)2+n2
n2(n+1)2
=
n(n+1)+1
n(n+1)
=1+class="stub"1
n(n+1)
=1+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1


…（11分）
所以P=(1+class="stub"1
1
-class="stub"1
2
)+(1+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+(1+class="stub"1
3
-class="stub"1
4
)+…+(1+class="stub"1
2013
-class="stub"1
2014
)=2014-class="stub"1
2014
，
故不超过P的最大整数为2013．…..（14分）

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