已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*,满足关系式2Sn=3an-3.(I)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{bn}的通项公式是bn=1log3an(log3an+

题目简介

已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*,满足关系式2Sn=3an-3.(I)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{bn}的通项公式是bn=1log3an(log3an+

题目详情

已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*,满足关系式2Sn=3an-3.
(I)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{bn}的通项公式是bn=
1
log3an(log3an+1)
,前n项和为Tn,求证:对于任意的正整数n,总有Tn<1.
题型:解答题难度:中档来源:日照一模

答案

(I)由已知得
2Sn=3an-3
2Sn-1=3an-1-3,n≥2

故2(Sn-Sn-1)=2an=3an-3an-1
即an=3an-1,n≥2
故数列an为等比数列,且q=3
又当n=1时,2a1=3a1-3,∴a1=3,
∴an=3n,n≥2.
而a1=1亦适合上式
∴an=3n(n∈N*).
(Ⅱ)bn=class="stub"1
n(n+1)
=class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1

所以Tn=b1+b2+…+bn
=(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)  +…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)

=1-class="stub"1
n+1
<1

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