已知数列{an},定义其倒均数是Vn=1a1+1a2+…+1ann,n∈N*.(1)求数列{an}的倒均数是Vn=n+12,求数列{an}的通项公式an;(2)设等比数列{bn}的首项为-1,公比为q

题目简介

已知数列{an},定义其倒均数是Vn=1a1+1a2+…+1ann,n∈N*.(1)求数列{an}的倒均数是Vn=n+12,求数列{an}的通项公式an;(2)设等比数列{bn}的首项为-1,公比为q

题目详情

已知数列{an},定义其倒均数是Vn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
n
,n∈N*

(1)求数列{an}的倒均数是Vn=
n+1
2
,求数列{an}的通项公式an
(2)设等比数列{bn}的首项为-1,公比为q=
1
2
,其倒数均为Vn,若存在正整数k,使n≥k时,Vn<-16恒成立,试求k的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)依题意,
class="stub"1
a 1
+class="stub"1
a 2
+…+class="stub"1
a n
n
=class="stub"n+1
2

class="stub"1
a 1
+class="stub"1
a 2
+…+class="stub"1
a n
=
n2+n
2
…(2分)
n≥2时,class="stub"1
a 1
+class="stub"1
a 2
+…+class="stub"1
a n-1
=
(n-1)2+(n-1)
2

两式相减得,得class="stub"1
an
=n.(n≥2)
an=class="stub"1
n
(n≥2)
…(6分)
当n=1时,class="stub"1
a1
=1
∴a1=1适合上式…(7分)
an=class="stub"1
n
.…(8分)
(2)由题意,bn=-(class="stub"1
2
)n-1
class="stub"1
bn
=-2n-1
.…..(10分)
Vn=
class="stub"1
b1
+class="stub"1
b2
+…+class="stub"1
bn
n
=
-(2-2n)
1-2
n
=
1-2n
2
…(12分)
不等式Vn<-16恒成立,即
1-2n
n
<-16,也即2n-1>16n
恒成立.
易验证当n≤6时,左边<右边;
当n=7时,左边=127>112=右边.
故适合不等式Vn<-16的最小K值为7.…(14分)

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