设等比数列{an}的前n项和Sn,首项a1=1,公比.(Ⅰ)证明:Sn=(1+λ)﹣λan;(Ⅱ)若数列{bn}满足,bn=f(bn﹣1)(n∈N*,n≥2),求数列{bn}的通项公式;(Ⅲ)若λ=1
解:(Ⅰ)而所以Sn=(1+λ)﹣λan(Ⅱ),∴,∴,∴是首项为,公差为1的等差数列,,即.(Ⅲ)λ=1时,,∴∴∴相减得∴∴,又因为,∴Tn单调递增,∴Tn≥T2=2,故当n≥2时,2≤Tn<4。
题目简介
设等比数列{an}的前n项和Sn,首项a1=1,公比.(Ⅰ)证明:Sn=(1+λ)﹣λan;(Ⅱ)若数列{bn}满足,bn=f(bn﹣1)(n∈N*,n≥2),求数列{bn}的通项公式;(Ⅲ)若λ=1
题目详情
(Ⅰ)证明:Sn=(1+λ)﹣λan;
(Ⅱ)若数列{bn}满足
(Ⅲ)若λ=1,记
答案
解:(Ⅰ)
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,∴
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是首项为
,公差为1的等差数列,
,即
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相减得![]()
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而
所以Sn=(1+λ)﹣λan
(Ⅱ)
∴
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(Ⅲ)λ=1时,
∴
∴
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∴
∴
又因为
∴Tn单调递增,
∴Tn≥T2=2,故当n≥2时,2≤Tn<4。