已知数列{an}的前n项和Sn,且,其中a1=1,an≠0,(1)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{an}是等差数列;(3)设数列{bn}满足,Tn为{bn}的前n项

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn,且,其中a1=1,an≠0,(1)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{an}是等差数列;(3)设数列{bn}满足,Tn为{bn}的前n项

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn,且,其中a1=1,an≠0,
(1)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{an}是等差数列;
(3)设数列{bn}满足,Tn为{bn}的前n项和,
求证:2Tn>log2(2an+1),n∈N*.
题型:解答题难度:中档来源:浙江省模拟题

答案

(1)解:
∴a2=2,a3=3,a4=4
(2)证明:已知式即,故
因为an≠0,当然an+1≠0,所以an+2﹣an=2(n∈N*).
由于,且a1=1,故a2=2.
于是a2m﹣1=1+2(m﹣1)=2m﹣1,a2m=2+2(m﹣1)=2m,
所以an=n(n∈N*).
(3)解:由

从而.

因此
=
=


注意到f(n)>0,所以f(n+1)>f(n).
特别地
从而2Tn﹣log2 (2an+1) =log2 f(n)>0.
所以2Tn>log2 (2an+1),n∈N*.

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