已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*),(Ⅰ)求数列{an}的通项an;(Ⅱ)求数列{n2an}的前n项和Tn;(Ⅲ)若存在n∈N*,使得an≥(n+1)

题目简介

已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*),(Ⅰ)求数列{an}的通项an;(Ⅱ)求数列{n2an}的前n项和Tn;(Ⅲ)若存在n∈N*,使得an≥(n+1)

题目详情

已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*),
(Ⅰ)求数列{an}的通项an
(Ⅱ)求数列{n2an}的前n项和Tn
(Ⅲ)若存在n∈N*,使得an≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围。
题型:解答题难度:偏难来源:天津模拟题

答案

解:(Ⅰ)因为
所以
两式相减得
所以
因此数列{nan}从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列,
所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当n≥2时,
当n≥2时,

两式相减得
又∵T1=a1=1也满足上式,
所以
(Ⅲ)an≥(n+1)λ等价于
由(Ⅰ)可知当n≥2时,
(n≥2,n∈N+),
则f(n+1)-f(n)=


∴所求实数λ的取值范围为

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