已知数列{an}中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1(n≥3).令bn=.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若f(x)=2x﹣1,求证:Tn=b1f(1)

题目简介

已知数列{an}中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1(n≥3).令bn=.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若f(x)=2x﹣1,求证:Tn=b1f(1)

题目详情

已知数列{an}中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+S n﹣2=2S n﹣1+2n﹣1(n≥3).
令bn=
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若f(x)=2x﹣1,求证:Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)<(n≥1).
题型:解答题难度:中档来源:广东省模拟题

答案

解:(Ⅰ)由题意知Sn﹣S n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2+2 n﹣1(n≥3)
即an=a n﹣1+2 n﹣1(n≥3)
∴an=(an﹣a n﹣1)+(a n﹣1﹣a n﹣2)+…+(a3﹣a2)+a2
         =2 n﹣1+2 n﹣2+…+22+5=2n+1(n≥3)
检验知n=1、2时,结论也成立,故an=2n+1.
(Ⅱ)由于
                                   ==
故Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)
       =
      =

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