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> 在数列{an}中,a1=1,an+1=1﹣,bn=,其中n∈N+,(Ⅰ)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)设cn=an,数列{CnCn+1}的前n项和为Tn,是否存在
在数列{an}中,a1=1,an+1=1﹣,bn=,其中n∈N+,(Ⅰ)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)设cn=an,数列{CnCn+1}的前n项和为Tn,是否存在
题目简介
在数列{an}中,a1=1,an+1=1﹣,bn=,其中n∈N+,(Ⅰ)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式an;(Ⅱ)设cn=an,数列{CnCn+1}的前n项和为Tn,是否存在
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在数列{a
n
} 中,a
1
=1,a
n+1
=1﹣
,b
n
=
,其中n∈N
+
,
(Ⅰ)求证:数列{b
n
} 是等差数列,并求数列{a
n
} 的通项公式a
n
;
(Ⅱ)设c
n
=
a
n
,数列{C
n
C
n+1
} 的前n项和为T
n
,是否存在正整整m,使得T
n
<
对于n∈
N
+
恒成立,若存在,求出m的最大值,若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:中档
来源:期末题
答案
(1)证明:∵a1=1,an+1=1﹣
,bn=
,
∴bn+1﹣bn=
=
=
﹣
=2(n∈N*)
∴数列{bn}是等差数列,
∵a1=1,∴b1=
=2,
∴bn=2+(n﹣1)×2=2n,
由bn=
,得2an﹣1=
=
,(n∈N*)
∴an=
.
(2)∵cn=
an=
=
,
∴CnCn+1=
=
,
∴T=c1c2+c2c3+…+cncn+1=(1﹣
)+(
)+(
)+…+(
)=1﹣
<1,
∵Tn=1﹣
<
对于n∈N+恒成立,
∴
,
∴m≤2,所以m的最大值为2.
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=
=
∴数列{bn}是等差数列,
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由bn=
∴an=
(2)∵cn=
∴CnCn+1=
∴T=c1c2+c2c3+…+cncn+1=(1﹣
∵Tn=1﹣
∴
∴m≤2,所以m的最大值为2.