已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程的两根,且a1=1.(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)若bn﹣mSn>0对任意的n∈N*都成立,求m的取值范围

题目简介

已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程的两根,且a1=1.(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)若bn﹣mSn>0对任意的n∈N*都成立,求m的取值范围

题目详情

已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程的两根,且a1=1.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn
(3)若bn﹣mSn>0对任意的n∈N*都成立,求m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:天津月考题

答案

解:(1)∵an+an+1=2n,
∴an+1﹣2n+1=(2n﹣an)﹣2n+1
=﹣an+2n(1﹣)=
=﹣1,
∴{an﹣2n}是等比数列,
又a1﹣=,q=﹣1
∴an=[2n﹣(﹣1)n].
(2)Sn=a1+a2+…+an=[(2+22+…+2n)﹣((﹣1)+(﹣1)2+…+(﹣1)n)]

(3)∵an,an+1是关于x的方程的两根,
∴bn=anan+1,bn=[2n﹣(﹣1)n][2n+1﹣(﹣1)n+1]
=[2n+1﹣(﹣2)n﹣1]
∵bn﹣msn>0,

当n为奇数时,[22n+1+2n﹣1]﹣(2n+1﹣1)>0,
∴m<(2n+1)对n∈{奇数}都成立,
∴m<1.
当n为偶数时,[22n+1﹣2n﹣1]﹣(2n+1﹣2)>0,[22n+1﹣2n﹣1]﹣(2n﹣1)>0,
∴m<(2n+1+1)对n∈{偶数}都成立,
∴m<
综上所述,m的取值范围为m<1.

更多内容推荐