设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,an+1=3Sn+1,n∈N*.(Ⅰ)写出a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)记Tn为数列{nan}的前n项和,求Tn;(Ⅲ)若数列{bn}

题目简介

设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,an+1=3Sn+1,n∈N*.(Ⅰ)写出a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)记Tn为数列{nan}的前n项和,求Tn;(Ⅲ)若数列{bn}

题目详情

设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,an+1=3Sn+1,n∈N*
(Ⅰ)写出a2,a3的值,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)记Tn为数列{nan}的前n项和,求Tn
(Ⅲ)若数列{bn}满足b1=0,bn-bn-1=log2an(n≥2),求数列{bn}的通项公式.
题型:解答题难度:中档来源:无为县模拟

答案

(Ⅰ)由已知得,a2=4,a3=16.…(2分)
由题意,an+1=3Sn+1,则当n≥2时,an=3Sn-1+1.
两式相减,得an+1=4an(n≥2).…(3分)
又因为a1=1,a2=4,
a 2
a1
=4

所以数列{an}是以首项为1,公比为4的等比数列,
所以数列{an}的通项公式是an=4n-1(n∈N*).…(5分)
(Ⅱ)因为Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+n•4n-1
所以4Tn=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1+n•4n,…(6分)
两式相减得,-3Tn=1+4+42+…+4n-1-n•4n=
1-4n
1-4
-n•4n
,…(8分)
整理得,Tn=class="stub"3n-1
9
4n+class="stub"1
9
(n∈N*).…(9分)
(Ⅲ) 当n≥2时,依题意得b2-b1=log2a2,b3-b2=log2a3,…,bn-bn-1=log2an.
相加得,bn-b1=log2a2+log2a3+…+log2an.…(12分)
依题意log2an=log24n-1=2(n-1)
因为b1=0,所以bn=2[1+2+…+(n-1)]=n(n-1)(n≥2).
显然当b1=0时,符合.
所以bn=n(n-1)(n∈N*).…(14分)

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